Leçons de niveau 14

Approfondissement sur les suites numériques/Suites récurrentes d'ordre deux

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On étudie les suites récurrentes affines d'ordre 2 à valeurs dans un corps commutatif K, en s'intéressant en particulier aux cas où le corps est celui des réels ou des complexes.

Définitions[modifier | modifier le wikicode]



Cas linéaire[modifier | modifier le wikicode]

On cherche l’ensemble des suites vérifiant la relation de récurrence linéaire .

Début d’un théorème


Fin du théorème


On considère le polynôme du second degré :

.

Supposons que polynôme admet deux racines — si , c'est toujours le cas. On peut donc écrire :

.

Le cas est celui où P admet une racine double, c'est-à-dire où est également racine de la dérivée de P :

.
Début d’un théorème


Fin du théorème


Cas affine[modifier | modifier le wikicode]

On note l’ensemble des suites vérifiant la relation de récurrence affine .

Début d'un lemme


Fin du lemme


Pour pouvoir affirmer que est un espace affine de direction , il reste donc à trouver, en fonction de (supposé non nul), un élément particulier de .

Premier cas : P(1) ≠ 0[modifier | modifier le wikicode]

On suppose que . Cherchons un scalaire tel que la suite (constante) de terme général : soit une solution particulière de la récurrence affine.

est nul pour tout n si et seulement si .

La solution est donc : .

Second cas : P(1) = 0[modifier | modifier le wikicode]

On suppose maintenant que : .

Second cas, premier sous-cas : P'(1) ≠ 0[modifier | modifier le wikicode]

On suppose que . Cherchons un scalaire tel que la suite soit une solution particulière de la récurrence affine.

est nul pour tout n si et seulement si .

La solution est donc : .

Second cas, second sous-cas : P'(1) = 0[modifier | modifier le wikicode]

On suppose que P'(1) = 0. Cherchons un scalaire tel que la suite soit une solution particulière de la récurrence affine.

On trouve par les mêmes méthodes que précédemment que la solution est : .

Cas des suites réelles[modifier | modifier le wikicode]

Si et si le discriminant du polynôme caractéristique P est strictement négatif, les racines complexes et de P sont distinctes mais non réelles. Elles sont conjuguées l'une de l'autre : et .

Les suites complexes solutions sont donc, dans le cas général, toutes les suites de la forme :

avec paramètres complexes.

Par le changement de paramètres , ce sont aussi les suites de la forme

avec paramètres complexes.

Les suites réelles solutions sont donc les suites de la forme

avec paramètres réels.

En effet, la condition sur les paramètres A, B (complexes a priori) pour que cette suite soit à valeurs réelles est que A et B soient réels : c'est immédiat dans un sens (si A, B sont réels alors la suite est réelle), et pour la réciproque il suffit de remarquer que et non nul (donc si sont réels alors A et B aussi).

Cas des suites entières[modifier | modifier le wikicode]

On peut également avoir affaire à des suites à valeurs dans ou , comme la suite de Fibonacci (proposée en exercice). Les formules ci-dessus n'ont aucune raison de donner un résultat entier...

C'est pourtant le cas, mais utiliser l'ordinateur ou la calculette peut s'avérer trompeur — l'accumulation des erreurs d'arrondis conduit souvent à des résultats non entiers, voire délirants. Dans beaucoup de cas, prendre l'entier le plus proche du résultat ainsi obtenu convient, mais il ne s'agit pas d'une règle générale.

Résumé et conclusion[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un principe


Fin du principe


Début d’un principe


Fin du principe