Leçons de niveau 14

Approfondissement sur les suites numériques/Plan d'étude, représentation

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Plan d'étude, représentation
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Chapitre no 10
Leçon : Approfondissement sur les suites numériques
Chap. préc. :Définitions
Chap. suiv. :Approximation de réels

Exercices :

Étude d'une suite récurrente
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Approfondissement sur les suites numériques/Plan d'étude, représentation
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Dans ce chapitre, nous décrivons le plan d'étude général pour les suites récurrentes d'ordre un. Nous montrons également comment donner une représentation de cette étude, qui aide parfois à comprendre le problème étudié.

Plan d'étude[modifier | modifier le wikicode]

Étude de ƒ[modifier | modifier le wikicode]

La première grande étape consiste à étudier la fonction qui définit la récurrence, c'est-à-dire l’application ƒ telle que :

.

On s'attachera alors à étudier les points suivants :

  • Linéarité de ƒ : il convient tout d’abord de vérifier si ƒ est linéaire (auquel cas on utilisera les outils adaptés aux suites récurrentes linéaires) ou non (auquel cas, on utilisera les outils de cette leçon). On peut par exemple repérer l'intervalle de définition de ƒ : s'il s'agit d'un intervalle borné, la fonction ne peut pas être linéaire.
  • Intervalles stables : on peut établir la liste des intervalles stables par ƒ maximaux. Puisqu'un point initialement dans un de ces intervalles y restera, nous pouvons étudier ce cas indépendamment de ce que fait ƒ en dehors.
  • Variations : vérifier — sur chacun des intervalles stables — la continuité (souvent), la dérivabilité (assez souvent), la monotonie (moins souvent) de ƒ fournit des informations pertinentes à son sujet. On peut, de plus, vérifier si ƒ (qu'on sait continue) est k-lipschitzienne, avec k < 1 (ƒ est alors contractante). On étudiera par ailleurs les variations de ƒ(x) - x.

Étude des intervalles stables[modifier | modifier le wikicode]

Nous considérons maintenant chacun des intervalles stables trouvés lors de l'étape précédente. On note I l'intervalle stable que nous étudions.

Si ƒ est contractante sur I[modifier | modifier le wikicode]

Si de plus l'intervalle I est fermé et borné, le théorème suivant s'applique :

Début d’un théorème


Fin du théorème

Si la fonction ƒ(x) – x est de signe constant sur I[modifier | modifier le wikicode]

On a alors, si un est dans I :

  • Premier cas : ƒ(x) – x est positive ou nulle, alors la suite est croissante :
    .
  • Second cas : ƒ(x) – x est négative ou nulle, alors la suite est décroissante :
    .

Trois cas se présentent alors si I est fermé :

  • ou bien ƒ n'admet pas de point fixe dans I, donc diverge ;
  • ou bien ƒ admet un point fixe sur I mais n'y converge pas, à cause de la monotonie ;
  • ou bien ƒ admet un point fixe sur I, et y converge.

Si la fonction ƒ est monotone sur I[modifier | modifier le wikicode]

On dispose dans ce cas d'un autre outil — qu'il ne faut surtout pas confondre avec le précédent — pour étudier la monotonie de la suite :

  • si ƒ est croissante, alors la suite est monotone mais pas nécessairement croissante ; on peut cependant préciser facilement : elle est
  • si ƒ est décroissante, alors la suite est n'est pas monotone mais les deux sous-suites d'indices pairs et d'indices impairs le sont, puisqu'elles sont définies chacune par une récurrence associée à la fonction , qui est croissante.

Autres intervalles[modifier | modifier le wikicode]

Le cas des autres intervalle se ramène souvent, à partir d'un certain terme, à celui d'un point dans un intervalle stable.

Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Représentation[modifier | modifier le wikicode]

Il est possible de donner une représentation graphique de l'étude d'une suite récurrente d'ordre 1 :

  • on trace la courbe C d'équation y = ƒ(x) ;
  • on trace la droite D d'équation y = x.

Alors, les points d'intersection de C et D correspondent aux points fixes de ƒ — si la suite doit converger, c’est vers l'un de ces points.

  1. On place sur l’axe des abscisses le premier élément u₀.
  2. On trace le segment qui part de ce point et atteint verticalement la courbe C ; on a alors atteint le point (u₀, ƒ(u₀)) c'est-à-dire (u₀, u₁).
  3. On trace le segment qui part de ce point et atteint horizontalement la droite D ; on a alors atteint le point (u₁, u₁).
  4. On recommence à l'étape 2.

Il peut alors se présenter différents cas :

Cas d'une suite convergente[modifier | modifier le wikicode]

Si par exemple la suite est croissante et converge, on a un graphe dont l'allure est la suivante :

Recurrent sequence convergence.svg

Cas d'une suite qui tend vers l'infini[modifier | modifier le wikicode]

Si par exemple la suite est décroissante et diverge, on a un graphe dont l'allure est la suivante :

Recurrent sequence divergence.svg

Cas d'une suite sans limite (finie ou infinie)[modifier | modifier le wikicode]

Un cas parmi bien d'autres (et dans lequel apparaît un cycle limite) est représenté sur l'image suivante :

Recurrent sequence cycle.svg