Leçons de niveau 14

Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Suites récurrentes linéaires 4

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Suites récurrentes linéaires 4
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Exercices no8
Leçon : Approfondissement sur les suites numériques
Chapitre du cours : Récurrence affine d'ordre 2

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Convergence
Exo suiv. :Sommaire
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Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Suites récurrentes linéaires 4
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Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

Soient et les deux suites définies par :

 ;
.

On note l'ensemble des réels de la forme avec , et pour un tel nombre , on note .

  1. Vérifier que
    .
  2. Montrer qu'il existe trois nombres tels que
    .
  3. Calculer et .
  4. Vérifier que
    .
  5. En déduire que
    .

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

Soit une suite numérique vérifiant une relation de récurrence de la forme

.

On pose et .

  1. En supposant , trouver une relation de récurrence linéaire d'ordre 2 vérifiée par et une relation de récurrence linéaire d'ordre 3 vérifiée par , et montrer que cette dernière est aussi vérifiée par .
  2. Redémontrer directement ces résultats sans supposer .
  3. Application : soient et deux suites vérifiant :
    ,
    avec et . On suppose qu'il existe des constantes telles que la relation
    soit vérifiée pour . Montrer qu'elle l'est alors pour tout .

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

Soit une suite numérique vérifiant une relation de récurrence de la forme

.

On suppose que et .

Montrer qu'il existe des constantes , et telles que (pour tout ).

Exercice 4[modifier | modifier le wikicode]

Soit une suite numérique. On pose et .

  1. On suppose : .
    1. Montrer que la suite est géométrique et que .
    2. En déduire : .
  2. Réciproquement, on suppose, pour un certain , que est vérifiée pour . On suppose de plus et, si , .
    Montrer que si est vérifiée pour et , alors elle l'est pour tout .