Leçons de niveau 14

Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Suites récurrentes linéaires 3

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Exercices no3
Leçon : Approfondissement sur les suites numériques

Ces exercices sont de niveau 14.

Exo préc. :Suites récurrentes linéaires 2
Exo suiv. :Étude d'une suite récurrente
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Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Suites récurrentes linéaires 3
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Suite de Fibonacci[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Suite de Fibonacci ».

La suite de Fibonacci est une célèbre suite de nombres entiers, liés par la récurrence : Avec pour premiers termes .

  1. Calculer les 10 premiers termes de cette suite.
  2. Proposer un algorithme qui calcule le n-ième terme de la suite. Évaluer son temps d'exécution.
  3. Calculer les racines du polynôme caractéristique associé : la plus grande est appelée nombre d'or et notée . L'autre est notée .
  4. Donner l’expression de en fonction de n et des deux racines (cette formule est appelée formule de Binet).
  5. Quelle est la limite du rapport  ? Ce résultat est dû à Kepler.

Identités remarquables[modifier | modifier le wikicode]

Référence : Robert C. Johnson, « Fibonacci numbers and matrices » sur Université de Durham, 2009, p. 40 (A.10).

Soient et deux éléments d'un corps commutatif K, avec .

Montrer que si une suite (à valeurs dans K) vérifie

alors, elle peut être étendue aux indices négatifs et reliée aux puissances d'une certaine matrice inversible par :

et que pour égale à ou à toute autre suite vérifiant la même relation de récurrence et pour tous entiers et  :

.
Remarques
En particulier, si alors
  •  ;
  • en particulier, .
Ceci s'applique par exemple à la suite de Fibonacci (voir supra), qui vérifie donc :
  •  ;
  • en particulier, .

Récurrence linéaire d'ordre 3[modifier | modifier le wikicode]

Soit , de racines complexes (non nécessairement distinctes). On pose . Montrer que :

  1.  ;
  2.  ;
  3. .