Leçons de niveau 14

Anneau (mathématiques)/Idéal d’un anneau commutatif

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Idéal d’un anneau commutatif
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Chapitre no 3
Leçon : Anneau (mathématiques)
Chap. préc. :Morphismes d'anneaux
Chap. suiv. :Anneau principal
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Dans tout ce chapitre, les anneaux et sont supposés commutatifs. Rappelons qu'un idéal de est alors une partie de telle que :

  • est un sous-groupe de  ;
  • (ce qui implique ).

Image réciproque par un morphisme[modifier | modifier le wikicode]


Idéal engendré[modifier | modifier le wikicode]

L'intersection d'une famille vide n'est pas définie en général mais par convention (locale à ce contexte), l'intersection d'une famille vide de parties de est .


Cette propriété est l'ingrédient de l'une des deux définitions (clairement équivalentes) de l'idéal engendré par une partie :




Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Somme d'idéaux[modifier | modifier le wikicode]



L'idéal engendré par une partie est donc égal à la somme des idéaux principaux engendrés par chaque élément de .

Divisibilité dans un anneau intègre[modifier | modifier le wikicode]

On suppose dans cette section que l'anneau est non seulement commutatif mais intègre, et que .



La relation « divise » est donc un préordre et la relation d'association est la relation d'équivalence liée à ce préordre.