Leçons de niveau 14

Anneau (mathématiques)/Exercices/Étude de l'anneau Z8

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Étude de l'anneau Z8
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Exercices no2
Leçon : Anneau (mathématiques)

Exercices de niveau 14.

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Prérequis : Arithmétique/Divisibilité et congruences dans Z (niveau 13)

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Toutes les congruences ci-dessous seront modulo 8. Le signe = désignera la congruence modulo 8, ainsi au lieu de 10 ≡ 18 (mod 8), on notera 10 = 18 (ce qui peut surprendre le lecteur non averti !)

L'anneau ℤ/8ℤ est l'ensemble des 8 classes de congruences modulo 8, noté ici simplement {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, muni de l'addition et de la multiplication induites par les opérations dans ℤ.

Exemple d'addition : 3 + 7 = 10 = 2

Exemple de multiplication : 3 × 7 = 21 = 5

Tables[modifier | modifier le wikicode]

Dresser les tables d'addition et de multiplication dans ℤ/8ℤ

Structure de l'anneau[modifier | modifier le wikicode]

1. L'anneau ℤ/8ℤ est-il intègre ?

2. Donner les idéaux de l'anneau ℤ/8ℤ. L'anneau ℤ/8ℤ est-il principal ?

3. Pouvait-on le savoir directement sachant que l'anneau des entiers relatifs est principal ?

4. Quels sont les éléments inversibles de l'anneau ℤ/8ℤ ? Quel est la structure du groupe des éléments inversibles de l'anneau ℤ/8ℤ ?