Amplificateur opérationnel/Logarithme, exponentiel et multiplicateur analogique

Pour la compréhension de ce qui suit, il convient de se remémorer les caractéristiques d'un diode et notamment l'équation de Shockley qui exprime le courant traversant une diode :

$i=i_{0}\left[\mathrm {\exp } \left({\frac {V_{D}}{nV_{T}}}\right)-1\right]$ où:

• $V_{D}$ est la tension aux bornes de la diode ;
• $V_{T}$ (appelé tension thermique) est égal à  ${\frac {k_{B}T}{q}}$où k_B est la constante de Boltzmann, T la température absolue de la jonction et $q$ la charge d’un électron. V₀ = 26 mV à T = 20 °C (293 K) ;
• $n$ est le facteur de qualité de la diode, généralement compris entre 1 et 2 ; 1 pour une diode de « signal » (comme le type 1N4148) ;
• $i_{o}$ est la constante spécifique au type de diode considéré, homogène à un courant. Cette constante est aussi appelée « courant de saturation » de la diode.

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Opération exponentiel

Comme $V_{s}=-Ri$  et que $V_{e}$  est la tension aux bornes de la diodes, il vient :$Vs=-Ri_{0}\left[\mathrm {\exp } \left({\frac {V_{e}}{nV_{T}}}\right)-1\right]$, c.à.d. que la tension de sortie est proportionnelle (à un facteur et à un décalage près) a l'exponentielle de la tension d'entrée.

Opération logarithme

Dans ce montage la tension aux bornes de la diode est $-V_{s}$.

Dans le cas de courant faible, ce qui est le cas ici, l'équation de Shockley peut s'écrire sous la forme : $i=i_{0}\left[\mathrm {\exp } \left({\frac {V_{D}}{nV_{T}}}\right)\right]$, soit encore pour ce montage $i=i_{0}\mathrm {\exp } \left({\frac {-V_{S}}{nV_{T}}}\right)$.

Comme $Ve=Ri$ il vient : $V_{e}=Ri_{0}exp\left({\frac {-V_{s}}{nV_{T}}}\right)$. En prenant le logarithme de chacun des termes de l'équation il vient : $ln(V_{e})=ln(Ri_{0})+{\frac {-V_{S}}{nv_{T}}}$ soit encore $V_{S}=-nV_{T}\left(ln(Ve)-ln(Ri_{0})\right)$ soit au final $V_{S}=-nV_{T}ln\left({\frac {V_{e}}{Ri_{0}}}\right)$, , c.à.d. que la tension de sortie est proportionnelle (à un facteur près) au logarithme de la tension d'entrée.

Multiplicateur analogique

Soit 2 valeurs $V_{1}>0$ et $V_{2}>0$ que l’on doit multiplier entre-elles:

$V_{s}=V_{1}\times V_{2}$

$\ln \left(V_{s}\right)=\ln \left(V_{1}\times V_{2}\right)$

$\ln \left(V_{s}\right)=\ln \left(V_{1}\right)+\ln \left(V_{2}\right)$

$e^{\ln \left(V_{s}\right)}=e^{\ln \left(V_{1}\right)+\ln \left(V_{2}\right)}$

$V_{s}=e^{\ln \left(V_{1}\right)+\ln \left(V_{2}\right)}$

Donc pour créer un multiplicateur, il nous faut 2 opérateurs logarithmiques, 1 opérateur additionneur et 1 opérateur exponentiel