Leçons de niveau 12

Étude et tracé d'une fonction/Exercices/Problèmes divers (2)

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Problèmes divers (2)
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Exercices no9
Leçon : Étude et tracé d'une fonction

Ces exercices sont de niveau 12.

Exo préc. :Problèmes divers (1)
Exo suiv. :Problèmes concrets d'optimisation (1)
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Étude et tracé d'une fonction/Exercices/Problèmes divers (2)
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Exercice 9-1[modifier | modifier le wikicode]

 Construire la courbe C d'équation :

dans un repère R.

 Soit A, le point de coordonnée (0,-1). On coupe C par une droite D contenant A et de coefficient directeur m. Formez l'équation du second degré dont les solutions sont les abscisses des points communs à C et D, autres que A.

 Démontrer que, entre les solutions de l'équation obtenue, il y a une relation indépendante de m.

 Passe-t-il par A des tangentes à C ? Si oui, lesquelles ?


Exercice 9-2[modifier | modifier le wikicode]

 Tracez sur un même graphique les courbes C et T données par leur équations :

 Déterminer l'équation de la tangente Δ à T au point d'abscisse 2 et d'ordonnée positive.

 Δ rencontres C en deux points P et P'. Calculer l'abscisse du point A, interception des tangentes à C en P et en P'.


Exercice 9-3[modifier | modifier le wikicode]

Soit Ca la courbe représentative de la fonction fa définie par :

Indiquer les différentes formes des courbe Ca suivant les valeurs de a. (Représenter soigneusement une courbe de chaque forme.)


Exercice 9-4[modifier | modifier le wikicode]

 Soit M, un point de coordonnées (a; b). Quelles sont les coordonnées d'un point M', image de M par la symétrie axiale par rapport à la droite d'équation y = x.

 En déduire, par un changement de repère, une relation que doit vérifier une fonction f pour que son tracé admette un axe de symétrie d'équation y = x + p.

 Calculer p de façon à ce que la droite d'équation y = x + p soit un axe de symétrie du tracé de la fonction f définie par :


Exercice 9-5[modifier | modifier le wikicode]

 Soit M, un point de coordonnées (a; b). Quelles sont les coordonnées d'un point M', image de M par la symétrie axiale par rapport à la droite d'équation y = -x.

 En déduire, par un changement de repère, une relation que doit vérifier une fonction f pour que son tracé admette un axe de symétrie d'équation y = -x + p.

 Calculer p de façon à ce que la droite d'équation y = -x + p soit un axe de symétrie du tracé de la fonction f définie par :


Exercice 9-6[modifier | modifier le wikicode]

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle [a, b].

Supposons qu'il existe un réel M tel que :

  • pour tout x de [a, b], f(x) ⩽ M
  • il existe un réel x0 dans ]a, b[ tel que f(x0) = M.

Étudier la valeur f'(x0).

Exercice 9-7[modifier | modifier le wikicode]

On considère une fonction dérivable sur un intervalle . On suppose en outre que et que et ( désigne le nombre dérivé de à droite en et désigne le nombre dérivé de à gauche en ).

  1. Prouver que prend des valeurs positives et négatives sur .
  2. En déduire que l'ensemble des éléments de tels que est non vide.
  3. Montrer que cet ensemble a un plus petit élément .
  4. Montrer que .
  5. Conclure et interpréter graphiquement.