Leçons de niveau 12

Étude et tracé d'une fonction/Domaine de définition, limites et asymptotes

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Domaine de définition, limites et asymptotes
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Chapitre no 1
Leçon : Étude et tracé d'une fonction
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Chap. suiv. :Dérivée et sens de variation

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Étude et tracé d'une fonction/Domaine de définition, limites et asymptotes
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L'objet de ce premier chapitre n'est pas de définir ce que l'on entend par la notion de limite. Le lecteur est censé avoir assimilé cette notion. Si besoin, nous vous conseillons d'étudier au préalable la leçon : Limites d'une fonction. Dans ce chapitre, nous allons étudier à quoi peut nous servir la notion de limite si l'on souhaite étudier en détail une fonction. Nous allons voir que les limites nous permettent de mieux préciser le tracé de la courbe représentative d'une fonction dans un repère orthonormé.

Nous allons voir que les notions de domaine de définition, limite et asymptote sont des notions interdépendantes. C'est pour cela que nous les avons réunies dans un même chapitre.

Le domaine de définition nous indique quelles limites doivent être calculées puisque l'on calcule généralement les limites aux bornes du domaine de définition. Selon la valeur de ces limites, nous essayerons d'en déduire quel type d'asymptote doit être envisagé.

Nous allons reprendre toutes ces notions de façon détaillée ci-dessous.

Domaine de définition[modifier | modifier le wikicode]



Lorsque f est donnée par une formule, son domaine de définition est constitué des nombres pour lesquels cette formule a un sens. On peut aussi dire que c'est l'ensemble des valeurs pour lesquelles notre calculatrice ne nous sort pas un message d'erreur.

Début de l'exemple


Fin de l'exemple
Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Dans les deux exemples qui précèdent, nous avons vu qu'il faut veiller à ce que les dénominateurs ne soient pas nuls et que les expressions sous les racines ne soit pas négatives. Dans le cadre de cette leçon, il s'agit des deux seuls cas que nous devons surveiller. Vous verrez par la suite, que la fonction logarithme n'est définie que pour des valeurs strictement positives, mais comme l'étude de cette fonction est généralement faite après cette leçon, nous n'en parlerons pas ici.

Limites aux bornes du domaine de définition[modifier | modifier le wikicode]

Après avoir déterminé soigneusement le domaine de définition, nous sommes confronté au problème suivant : comment va se comporter la fonction si l'on s'approche des bornes du domaine de définition ? Cette question joue un rôle important pour déterminer le tracé de sa courbe représentative. C'est ici qu'intervient le calcul des limites.

Lorsque nous étudions une fonction dans le but de tracer sa courbe représentative, nous devrons systématiquement calculer les limites aux bornes du domaine de définition.

Par exemple, pour le domaine de définition de la fonction f ayant fait l'objet de l'exemple 1 ci-dessus, nous avions trouvé :

.

Combien de limites devons-nous calculer ?

Tenez-vous bien ! il y a 6 limites à calculer. Pour mieux le voir, nous pouvons réécrire le domaine de définition ainsi :

.

Nous devons calculer la limite de la fonction f lorsque :

  • x tend vers −∞ ;
  • x tend vers 0 par valeurs inférieures (à gauche) ;
  • x tend vers 0 par valeurs supérieures (à droite) ;
  • x tend vers 1 par valeurs inférieures (à gauche) ;
  • x tend vers 1 par valeurs supérieures (à droite) ;
  • x tend vers +∞.

Pour le calcul effectif des limites, que nous ne développerons pas ici, se référer à la leçon « Limites d'une fonction ».

Restriction du domaine d'étude[modifier | modifier le wikicode]

Il se peut que le tracé de la courbe présente certaines symétries. Détecter ces symétries peut nous permettre de simplifier l'étude de la fonction. Si, par exemple, nous déterminons, avant l'étude proprement dite, que le tracé de la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, il serait superflu d'étudier la fonction pour toutes les valeurs de son domaine de définition alors qu'il suffirait de l'étudier seulement pour les valeurs positives et d'en déduire le reste de l'étude et le tracé de la courbe par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.

Nous allons envisager deux types de symétrie :

  • La courbe admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie ;
  • La courbe admet l'origine du repère comme centre de symétrie.

Fonction paire[modifier | modifier le wikicode]

Dans cette leçon, nous adopterons la définition suivante :


Représentation graphique d'une fonction paire.

Cette définition étant posée, nous allons essayer de trouver une relation caractérisant les fonctions paires.

Soit une fonction dont le tracé est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (voir le schéma à droite). Choisissons sur l'axe des abscisses deux réels opposés x et –x. Si le tracé de la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, nous voyons que l'image de x et de –x tombe exactement au même endroit sur l'axe des ordonnées. Nous voyons que nous avons par conséquent f(–x) = f(x). Nous retiendrons :



(Certains cours adoptent comme définition d'une fonction paire la relation énoncée dans la propriété ci-dessus.)

Fonction impaire[modifier | modifier le wikicode]

Dans cette leçon, nous adopterons la définition suivante :


Représentation graphique d'une fonction impaire.

Cette définition étant posée, nous allons essayer de trouver une relation caractérisant les fonctions impaires.

Soit une fonction dont le tracé admet l'origine du repère comme centre de symétrie (voir le schéma à droite). Choisissons sur l'axe des abscisses deux réels opposés x et –x. Si le tracé de la courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère, nous voyons que l'image de x et de –x tombe sur deux valeurs opposées sur l'axe des ordonnées. Nous voyons que nous avons par conséquent f(–x) = f(x). Nous retiendrons :



(Certains cours adoptent comme définition d'une fonction impaire la relation énoncée dans la propriété ci-dessus.)

Quelques propriétés des fonctions paires et impaires[modifier | modifier le wikicode]

Nous avons les propriétés suivantes :

  • Une fonction polynôme n'ayant que des monômes de puissance paire est une fonction paire.
  • Une fonction polynôme n'ayant que des monômes de puissance impaire est une fonction impaire.
  • Le produit ou le quotient de deux fonctions paires est une fonction paire.
  • Le produit ou le quotient de deux fonctions impaires est une fonction paire.
  • Le produit ou le quotient d'une fonction paire par une fonction impaire est une fonction impaire.
  • La racine carrée d'une fonction paire positive est une fonction paire.

Les propriétés précédentes sont faciles à démontrer. Nous invitons le lecteur à le faire à titre d'exercice.

Panneau d’avertissement Les propriétés précédentes permettent de voir rapidement si une fonction est paire ou impaire mais ne sont généralement pas au programme. On ne peut alors pas les invoquer pour établir la parité d'une fonction. Dans ce cas, on procède comme dans la fin de l'exemple ci-dessous.
Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Asymptotes[modifier | modifier le wikicode]

Nous adopterons la définition suivante qui n'est pas la plus générale mais qui est suffisante dans le cadre de cette leçon.

Soit une courbe C représentative d'une fonction f. On dira qu'une droite D est une asymptote à la courbe C si la distance d'un point A de la courbe C à la droite D tends vers 0 lorsque l'on fait tendre l'abscisse de M vers une borne du domaine de définition

Nous pouvons, par exemple, imager la visualisation d'une asymptote lorsque x tend vers +∞.

Sur l'animation, le point A se projette verticalement en B sur l'asymptote et nous voyons que la distance AB tend vers 0 lorsque l'abscisse du point A tend vers +∞.

Bien que la distinction soit théoriquement superflue, nous distinguerons, dans le cadre de cette leçon, trois types d'asymptotes. Nous avons :

  • Les asymptotes horizontales qui sont des droites parallèles à l'axe des abscisses.
  • Les asymptotes verticales qui sont des droites parallèles à l'axe des ordonnées.
  • Les asymptotes obliques qui ne sont parallèles ni à l'axe des abscisses, ni à l'axe des ordonnées.

Nous allons détailler ci-dessous comment déterminer les trois types d'asymptotes.

Asymptotes horizontales[modifier | modifier le wikicode]

Supposons que lorsque l'on fait tendre x vers +∞ (ou vers −∞), on obtienne une limite finie l ; nous voyons alors que le tracé de la courbe a tendance à prendre des valeurs de plus en plus proches de l, ce qui signifie que le tracé de la courbe a tendance à être de plus en plus horizontal et même à s'approcher d'une droite horizontale d'équation y = l.

Nous retiendrons donc la propriété suivante :


Asymptotes verticales[modifier | modifier le wikicode]

Supposons que lorsque l'on fait tendre x vers une valeur particulière a (par valeur supérieure ou inférieure), la fonction tende vers +∞ ou vers −∞. Si, par exemple, elle tend vers +∞, nous voyons que le tracé de la courbe va monter en tendant de plus en plus vers une droite verticale. Nous arrivons ainsi facilement à imaginer que la courbe représentative va avoir une asymptote verticale d'équation x = a.

Nous retiendrons donc la propriété suivante :


Asymptotes obliques[modifier | modifier le wikicode]

Si la courbe représentative de la fonction admet une asymptote oblique cela signifie que son tracé se rapproche d'une droite d'équation y = ax + b. cela signifie aussi que la différence entre la courbe et l'asymptote oblique tend vers 0 lorsque l'on fait tendre x, soit vers +∞, soit vers −∞. Nous aurons donc :

.

C'est cette limite que nous devrons calculer si l'on nous demande de démontrer que la droite d'équation y = ax + b est une asymptote.


Il peut arriver (cela dépend des programmes) que l'on ne nous donne pas l'équation de l'asymptote. C'est donc à nous de déterminer la valeur de a et b.

Pour calculer la valeur de a, nous avons la propriété suivante :


Une fois que nous avons calculé la valeur de a et seulement après cela, nous avons la propriété suivante pour calculer la valeur de b :


Panneau d’avertissement Parfois, il se peut que l'on arrive à calculer a mais que l'on n'arrive pas ensuite à calculer b car la limite concernée est +∞ ou −∞. Dans ce cas, nous dirons que la courbe admet seulement une direction asymptotique.

Position relative de deux courbes[modifier | modifier le wikicode]

Supposons que nous ayons deux courbes à tracer dans un même repère correspondant respectivement à deux fonctions f et g. Nous pouvons alors souhaiter savoir laquelle des deux courbes est en dessus de l'autre. Et si les deux courbes s'interceptent, nous souhaiterons peut-être connaître les abscisses des points d'interception des deux courbes ou pour quelles valeurs de x l'une des deux est en dessus de l'autre et pour quelle valeurs de x, elle est en dessous. Comment procéder ?

En fait, ce n'est pas très compliqué, il suffit d'étudier la différence :

f(x) – g(x)

pour toutes valeurs de x.

Nous voyons que si, pour une valeur de x, cette différence est positive, cela signifie que f(x) est plus grand que g(x) (le tracé de f est dessus le tracé de g) et si pour une valeur de x cette différence est négative, alors f(x) sera plus petit que g(x) (le tracé de f est dessous le tracé de g). Nous voyons aussi que si pour une valeur de x, la différence est nulle, cela signifie que f(x) = g(x) et pour cette valeur de x, les courbes se coupent.

Pour étudier la position relative de deux courbes, nous ferons donc une étude de signe de la différence f(x) – g(x).

Position asymptote.png

Un cas particulier intéressant survient lorsque le tracé de la courbe admet une asymptote. Nous avons vu plus haut que, dans ce cas, le tracé de la courbe se rapproche de l'asymptote quand x tend vers +∞ ou quand x tend vers −∞. Ce que nous n'avons pas encore précisé, c'est de savoir si le tracé de la courbe tend vers l'asymptote par en dessus ou par en dessous. Sur le schéma de droite, nous avons représenté deux situations possibles (parmi d'autres). Nous avons une asymptote oblique croissante (en vert sur le dessin). Nous voyons que la courbe A commence par couper l'asymptote en W et tend ensuite vers l'asymptote par en dessus alors que la courbe B tend vers l'asymptote par en dessous. Comment différencier ces deux situations. La dérivée ne nous permettra pas de différencier ces deux situations car dans les deux cas, les courbes sont croissantes, ce qui entraîne que la dérivée est positive.

Pour différencier ces deux cas, nous allons appliquer ce que nous avons dit ci-dessus en considérant l'asymptote comme étant le tracé de la courbe correspondant à la fonction g. Plus précisément, si y = ax + b est l'équation de l'asymptote, nous allons étudier le signe de la différence :

f(x) – y = f(x) – (ax + b).
  • Pour les valeurs de x qui rendront cette différence positive, la courbe sera en dessus de l'asymptote.
  • Pour les valeurs de x qui rendront cette différence négative, la courbe sera en dessous de l'asymptote.
  • Pour les valeurs de x qui rendront cette différence nulle, la courbe coupera l'asymptote.