Équations, fonctions polynômes du second degré

1) Définitions

Une fonction est un processus associant un élément à un autre

Exemple : f : x |→ 3x + 2

f est la fonction qui à x (un antécédent) associe 3x + 2 (l'image).

Remarque : on peut aussi écrire f(x)=3x + 2

Une fonction polynôme du second degré (ou fonction trinôme) est une fonction définie sur |R par f(x)=ax²+bx+c avec a,b,c trois réels donnés et a≠0.

Remarque : Cette façon d'exprimer f(x) est appelée forme développée.

Point méthode : pour savoir si une fonction est une fonction polynôme de second degré, il suffit de trouver sa forme développée et d'identifier ses coefficients en vérifiant bien que a≠0.

2) Factorisation

Factoriser un trinôme peut se révéler très utile dans certains exercices. Pour ce faire, il faut connaître le signe de son discriminant noté Δ tel que Δ = b² - 4ac.

Δ > 0 ⇔ f(x) = a(x-x1)(x-x2) avec x1 = [ - b - sqrt(Δ) ] / [ 2a ] et x2 = [ - b + sqrt(Δ) ] / [ 2a ]

Δ < 0 ⇔ f(x) non factorisable (voir option maths expertes)

Δ = 0 ⇔ f(x) = a(x + [ b / ( 2a )] )²

Démonstration exigible :

f(x) = ax²+bx+c ⇔ f(x) = a(x²+(b/a)x+(c/a)) car a ≠0

⇔ f(x) = a(x²+2(b/2a)x+(c/a))

⇔ f(x) = a(x²+2(b/2a)x + (b/2a)² - (b/2a)² +c/a) on a fait apparaître une identité remarquable

⇔ f(x) = a([x+b/2a]² - b²/4a² + 4ac/4a²)

⇔ f(x) = a([x+b/2a]² - [b²-4ac]/4a²)

Disjonction de cas :

1er cas : b²-4ac = 0

f(x) = a(x+b/2a)²

2e cas : b²-4ac <0

-b²+4ac >0 ⇔ f(x) = a([x+b/2a]² + [-b²+4ac]/4a²)

(x+b/2a)² ≥ 0

4>0

a²>0 car a ≠0

Or la somme de deux positifs stricts est non factorisable.

3e cas : b²-4ac >0

f(x) = a([x+b/2a]² - [b²-4ac]/4a²) ⇔ f(x) = a(x+b/2a+sqrt([b²-4ac]/4a²))(x+b/2a-sqrt([b²-4ac]/4a²))

⇔ f(x) = a(x+b/2a + sqrt( | b²-4ac | ) / sqrt( | 4a² | ))(x+b/2a - sqrt( | b²-4ac | ) / sqrt( | 4a² | ))

⇔ f(x) = a(x+b/2a + sqrt( b²-4ac ) / sqrt( 4a² ))(x+b/2a - sqrt( b²-4ac ) / sqrt( 4a² )) car Δ>0 et 4a² >0

- 1er sous-cas : a<0

f(x) = a(x+b/2a + (- sqrt( Δ ) / 2a ))(x+b/2a - (- sqrt( Δ) / 2a)) car sqrt(4a²)= - 2a

ainsi, f(x) = a(x+b/2a - sqrt( Δ ) / 2a )(x+b/2a + sqrt( Δ) / 2a)

- 2e sous-cas : a>0

f(x) = a(x+b/2a - sqrt( Δ ) / 2a )(x+b/2a + sqrt( Δ) / 2a) car sqrt(4a²) = 2a

Finalement, pour tout réel non nul a, on a :

f(x) = a(x-x1)(x-x2) avec x1 = [ - b - sqrt(Δ) ] / [ 2a ] et x2 = [ - b + sqrt(Δ) ] / [ 2a ]