Équation du troisième degré/Exercices/Résolution par la méthode de Sotta

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Résolution par la méthode de Sotta
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Exercices no6
Leçon : Équation du troisième degré
Chapitre du cours : Méthode de Sotta

Cet exercice est de niveau 13.

Exo préc. : Simplification des racines
Exo suiv. : Sur la résolution trigonométrique
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Équation du troisième degré/Exercices/Résolution par la méthode de Sotta
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Exercice 6-1[modifier | modifier le wikicode]

Résoudre l'équation suivante :

 5x^3 - 9x^2 - 3x + 9 = 0 ~



Exercice 6-2[modifier | modifier le wikicode]

Trouvez tous les triplets de nombres complexes (x,y,z) vérifiant la condition suivante :

  x + y + z = xy + xz + yz = 3 ~

En déduire que le seul triplet de nombres réels vérifiant la condition précédente est le triplet (1, 1, 1).



Exercice 6-3[modifier | modifier le wikicode]

Résoudre par la méthode de Sotta, les deux équations suivantes :

α)  \frac{4x^2}{3} = \frac{\sqrt{3} - 6x}{2x - \sqrt{27}} ~
β)  x^3 - 5x^2 + x - 1 = 4x\sqrt{2} ~



Exercice 6-4[modifier | modifier le wikicode]

Sachant que :

 cos \left(\frac{5\pi}{7} \right) ~

est racine de l'équation du troisième degré :

 8x^3 - 4x^2 - 4x + 1 = 0 ~

Établir l'expression :

 cos \left(\frac{5\pi}{7} \right) = \frac{ (1+i\sqrt{3}) \sqrt[3]{1-3i\sqrt{3}} - (1-i\sqrt{3}) \sqrt[3]{1+3i\sqrt{3}} }{ 4\sqrt[3]{1-3i\sqrt{3}} - 4\sqrt[3]{1+3i\sqrt{3}}  } ~



Exercice 6-5[modifier | modifier le wikicode]

Résoudre l'équation suivante :

 x^3 - 3kx^2 + (3k^2-m^2)x + km^2-k^3 = 0 ~

k et m étant deux paramètres.




Équation du troisième degré
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