Vecteur/Colinéarité

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**Colinéarité des vecteurs**
Leçon : Vecteur

Chapitre 4
Chap. préc. :	Somme et différence de vecteurs‎

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Vecteur/Colinéarité », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

1 Une nouvelle opération sur les vecteurs
2 Colinéarité de deux vecteurs du plan
3 Application de la colinéarité
- 3.1 Colinéarité et alignement
- 3.2 Colinéarité et parallélisme

[modifier] Une nouvelle opération sur les vecteurs

[modifier] Multiplication par un réel positif

Observons la figure suivante.

On a un vecteur $\overrightarrow{u}$
Les points A, B et C sont tels que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{u}$

On a donc d'après la relation de Chasles

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$

Et par conséquent

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{u} + \overrightarrow{u}$

En algèbre on écrit couramment $x + x = 2 x$ . Faisons de même pour le vecteur $u$ :

$\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{u}$

On obtient ainsi un vecteur noté $2\overrightarrow{u}$ dont

la direction est celle du vecteur $\overrightarrow{u}$
le sens est celui du vecteur $\overrightarrow{u}$
la longueur est 2 fois celle du vecteur $\overrightarrow{u}$

On définit ainsi la multiplication d'un vecteur par un réel positif :

Définition

$\overrightarrow{v} = 2\overrightarrow{u}$ $\overrightarrow{w} = \cfrac{1}{2}\overrightarrow{u}$

$\overrightarrow{u}$ est un vecteur et k est un nombre positif. On note $k\overrightarrow{u}$ le vecteur :

de même direction que le vecteur $\overrightarrow{u}$
de même sens que le vecteur $\overrightarrow{u}$
de longueur k fois la longueur du vecteur $\overrightarrow{u}$

[modifier] Multiplication par un réel négatif

On vient de voir quel sens donner au vecteur $2\overrightarrow{u}$ . Quel sens donner au vecteur $-2\overrightarrow{u}$ ?

En appliquant les règles habituelles du calcul algébrique $-2\overrightarrow{u}$ doit désigner l'opposé du vecteur $2\overrightarrow{u}$ .

On vient de voir comment construire le vecteur $2\overrightarrow{u}$ au paragraphe précédent;
On a vu l'opposé d'un vecteur au chapitre précédent.

On peut alors effectuer la construction suivante :

Ainsi le vecteur $-2\overrightarrow{u}$ a

la même direction que le vecteur $\overrightarrow{u}$
le sens contraire du vecteur $\overrightarrow{u}$
2 fois la longueur du vecteur $\overrightarrow{u}$

On peut alors définir la multiplication d'un vecteur par un réel négatif :

Définition

$\overrightarrow{v} = -2\overrightarrow{u}$ $\overrightarrow{w} = -\cfrac{1}{2}\overrightarrow{u}$

$\overrightarrow{u}$ est un vecteur et k est un nombre négatif. On note $k\overrightarrow{u}$ le vecteur :

de même direction que le vecteur $\overrightarrow{u}$
de même sens opposé au vecteur $\overrightarrow{u}$
de longueur -k fois la longueur du vecteur $\overrightarrow{u}$

Attention dans cette définition comme le réel k est négatif, -k est un réel positif. Par exemple avec $k = - 2$ , nombre négatif, on a $- k = - ( - 2) = 2$ qui est un nombre positif.

[modifier] Une définition pour en remplacer deux

Définition

Soit $\vec{u}$ un vecteur et $\lambda\,$ un nombre réel. On note $\lambda.\vec{u}$ le vecteur :

de norme $\|\lambda.\vec{u}\|=|\lambda|.\|\vec{u}\|$
de même direction que $\vec{u}$ si $\lambda\neq 0\,$

de même sens que $\vec{u}$ si $\lambda >0\,$ ,
de sens opposé à $\vec{u}$ si $\lambda <0\,$

Remarque : Si $\lambda =0\,$ alors par définition $0.\vec{u}=\vec{0}$

NB : Cette définition est cohérente avec la définition de l'addition et de l'opposé,

en ce sens que par exemple :

$2.\vec{u}=\vec{u}+\vec{u}$

$-1.\vec{u}=-\vec{u}$

[modifier] Règles de calcul sur les vecteurs

Les opérations sur les vecteurs ont été définies en s'inspirant des règles de calcul algébriques. Il est donc naturel d'avoir les règles suivantes de calcul sur les vecteurs :

Propriété

$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs et k un nombre réel

$k(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) = k\overrightarrow{u} + k\overrightarrow{v}$

Par exemple pour construire le vecteur $2(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})$ on peut

Construire le vecteur $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ somme des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ , puis multiplier cette somme par 2 :
Ou construire séparement les vecteurs $2\overrightarrow{u}$ et $2\overrightarrow{v}$ , puis construire la somme des deux vecteurs ainsi obtenus :

Dans les deux cas on a construit le même vecteur en vert.

Propriété

$\overrightarrow{u}$ est un vecteur, a et b sont deux nombres réels.

$a(b\overrightarrow{u}) = (ab)\overrightarrow{u}$

[modifier] Colinéarité de deux vecteurs du plan

La notion de colinéarité pour les vecteurs est l'équivalent de la notion de parallélisme pour les droites :

Définition

d

et

d'

sont parallèles : on dit que les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires

Deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont dit colinéaires s'ils ont même direction
Le vecteur nul $\overrightarrow{0}$ est colinéaire à tous les vecteurs du plan.

En observant le dessin de la définition précédente on constate que $\overrightarrow{u} = -2\overrightarrow{v}$ . De manière générale, on a la propriété :

Propriété

Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel $\lambda\,$ tel que :

$\vec{u}=\lambda.\vec{v}$ ou bien $\vec{v}=\lambda.\vec{u}$

[modifier] Application de la colinéarité

[modifier] Colinéarité et alignement

Prenons trois points alignés A, B et C comme sur le dessin suivant :

Les droites $(A B)$ et $(A C)$ sont parallèles, donc d'après la définition de deux vecteurs colinéaires, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

Ceci prend la forme de la propriété suivante, qui malgrès sa simplicité est d'un grand intérêt pour résoudre des problèmes géométriques à l'aide de vecteurs.

Théorème

Si trois points A, B et C sont alignés, alors les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
Si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, alors les points A, B et C sont alignés

[modifier] Colinéarité et parallélisme

Cette autre propriété est une conséquence directe de la définition de vecteurs colinéaires.

Les droites $(A B)$ et $(C D)$ sont parallèles, ce qui d'après la définition correspond à la colinéarité des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$

Théorème

Si les droites $(A B)$ et $(C D)$ sont parallèles, alors les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.
Si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires, alors les droites $(A B)$ et $(C D)$ sont parallèles

là encore, malgrès son apparente simplicité, cette propriété est d'un grand intérêt pour ramener un problème de géométrie à un problème de vecteurs.

Vecteur

Somme et différence de vecteurs‎

Vecteur/Colinéarité

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[modifier] Une nouvelle opération sur les vecteurs

[modifier] Multiplication par un réel positif

[modifier] Multiplication par un réel négatif

[modifier] Une définition pour en remplacer deux

[modifier] Règles de calcul sur les vecteurs

[modifier] Colinéarité de deux vecteurs du plan

[modifier] Application de la colinéarité

[modifier] Colinéarité et alignement

[modifier] Colinéarité et parallélisme

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