Variables aléatoires sur les ensembles finis/Exercice/Jeu télévisé
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| Exercice 2 | |||
| Leçon : Variables aléatoires sur les ensembles finis | |||
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| Chapitre du cours : | Loi de probabilité d'une variable aléatoire | ||
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Cet exercice est de niveau 12. |
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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Jeu télévisé
Variables aléatoires sur les ensembles finis/Exercice/Jeu télévisé », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Pour être sélectionné à un jeu télévisé, un candidat doit satisfaire à deux tests T1 et T2 indépendants.
La probabilité de satisfaire à T1 est p1 = 0,1. La probabilité de satisfaire à T2 est p2 = 0,2.
1. Calculer la probabilité qu'un candidat ne satisfasse ni à T1 ni à T2.
2. Calculer la probabilité qu'un candidat soit sélectionné.
3. Sur n candidats, calculer la probabilité qn qu'au moins un candidat soit sélectionné.
4. Combien de candidat faut-il prendre pour que la probabilité d'en sélectionner au moins un soit supérieure à 0,99 ?
1. Notre problème se découpe en quatre cas :
- Satisfaire T1 et T2.
- Satisfaire T1 et pas T2.
- Satisfaire pas T1 et T2.
- Satisfaire pas T1 et pas T2.
La probabilité du premier, Q1, est p1 * p2, soit 0,02, car les événements sont indépendants. La probabilité du deuxième, Q2, est p1 moins celle du premier, soit p1 − Q1, soit 0,08. De même pour le troisième, Q3, p2 − Q1, soit 0,18. Et la probabilité du dernier est celle du tout (1) moins les trois probabilités précédentes, soit 1 − Q1 − Q2 − Q3, soit 1 − p1 − p2 + Q1, soit 1 − p1 − p2 + p1 * p2. On a donc la probabilité cherchée, qui est 0,72.
On peut aussi plus simplement faire que la probabilité d'echouer à T1 est de 1-0.1=0.9, et celle d'echouer à T2 est de 1-0.2=0.8. donc la probabilité d'échouer à T1 et à T2 est de 0.8*0.9=0.72
2. Comme dit plus haut, c'est p1 * p2, soit 0,02.
3. On cherche la probabilité de l'événement : « au moins un candidat est sélectionné ». On peut donc calculer la probabilité que 1e candidat réussisse, puis que 2 candidats réussissent, puis 3... jusqu'à la probabilité que n candidats réussissent et additionner tous ces résultats. Mais il s'agirait la d'un travail fastidieux !
Pour simplifier la procédure, on va calculer la probabilité de l'événement « aucun de n candidats n'a été sélectionne ». Cette probabilité la probabilité qu un candidat ne soit pas sélectionne : 1 − 0.02 = 0.98 à la puissance n. Donc cette probabilité est de 0.98n La probabilité que l'on recherche est l'événement complémentaire, donc sa probabilité est de 1 − 0.98n
4. On veut ici que 1 − 0.98n > 0.99
0.98n < 0.01
nln(0.98) < ln(0.01) avec 0.98 < 1 d'où nln(0.98) < 0
la solution est donc n le plus petit entier au dessus du resultat obtenu
