Variables aléatoires discrètes/Exercices/Calcul d'une Espérence autour de la Loi Binomiale

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**Calcul d'une Espérence autour de la Loi Binomiale**
Leçon : Variables aléatoires discrètes

Exercice 3
Chapitre du cours :	Loi de Bernoulli
Cet exercice est de niveau 15.

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Calcul d'une Espérence autour de la Loi Binomiale
Variables aléatoires discrètes/Exercices/Calcul d'une Espérence autour de la Loi Binomiale », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Manipulation des Espérances avec une loi binomiale

[modifier] Énoncé

On joue à Pile ou Face avec une pièce de monnaie. Dans une première partie on ne connait pas la probabilité de l'évènment Pile, ni celle de Face. On cherche à évaluer la distance entre le nombre de pile et de face obtenus après N lancés. Bien entendu les lancés sont indépendant les uns des autres.
Le problème peut être reformulé comme ceci :
Si on pose que X le nombre de Pile obtenus et Y le nombre de Face obtenus : Quelle est la valeur de $\mathbb{E}(|X-Y|)$ ?

[modifier] Remarques

Dans les questions de probabilités générales (ie les questions 4; 5; 6), on supposera plusieurs points distincts :

[modifier] Espace de probabilités

On est toujours sur l'espace de probabilité suivant: $( \Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ .

[modifier] Espérance

L'espérance existe toujours. C'est à dire : $\exists k \in \mathbb{R} \ / \ \mathbb{E}(X)=\int_\Omega x \ d\mathbb{P}< k$

[modifier] Notations

[modifier] X et Y

Nous noterons X le nombre de Pile obtenu après n lancés consécutifs. De même Y représentera le nombre de Face obtenu.

[modifier] Indicatrice

Nous noterons la fonction indicatrice comme suit : $1_{E}=1_{x \in E}$ . Pour rappel, la fonction indicatrice est la fonction qui vaut : $1_{x \in E} = 1$ si $x \in E$ , 0 sinon.
Pour rappel, voici quelques propriétés de la fonction indicatrice:
$1_{E \cap F}= 1_{E} \times 1_{F}$
$1_{E \backslash_F}= 1_{E} - 1_{E \cap F}$ où $E \backslash F$ est l'ensemble E privé des élements de F
$1_{E \cup F}= 1_{E} + 1_{F} -1_{E} \times 1_{F}$ (pour s'en convaincre il suffit de voir que $E \cup F = (E \backslash F) \cup (F \backslash E) \cup (E \cap F)$

[modifier] Partie Entière

$[x]$ est la partie entière de x.

[modifier] Complémentaire d'un ensemble

On notera $A C$ l'ensemble complémentaire de A.

[modifier] Loi Binomiale

Une loi Binomiale est une répétition de loi de Bernoulli. On notera donc $X \sim \mathcal{B}(n,p)$ X suit une loi binomiale de paramètre p, et n répétitions de l'expérience de Bernoulli. Une loi de Bernoulli est se notera : $X \sim \mathcal{B}(1,p)$ ou abusivement : $X \sim \mathcal{B}(p)$

[modifier] Fonction de répartition

Soit $X \sim \mathcal{B}(N,p)$ , pour x un entier naturel compris entre 0 et N, on notera la fonction de répartition $F_N(x)=\sum_{i=0}^{x} \mathbb{P}(X=i)$ et la fonction de complémentaire de la fonction de répartition : $\Phi_N(x)=\sum_{i=x+1}^{N} \mathbb{P}(X=i)$ On a la relation : $F N (x) = 1 - Φ N (x)$

[modifier] Questions

Quel est la loi de X?
Trouver l'espérance de X sans aucun calcul.
X et Y sont elle indépendantes? Sinon quelle loi les lie?
Démontrer que $\mathbb{E}(1_{A}) = \mathbb{P}(A)$
Démontrer que si X admet une Espérence alors $\mathbb{E}((\alpha X + \beta)1_{x \in E}))= \alpha \mathbb{E}(X1_{x \in E}) + \beta \mathbb{P}(E)$
Démontrer que si X admet une Espérence alors $\mathbb{E}(X)= \mathbb{E}(X 1_{ E})+\mathbb{E}(X1_{ E^C})$
En remarquant que $|x-y| = (x-y) 1_{x>y} + (y-x) 1_{x \leq y}$ , trouver une expression de $\mathbb{E}(|X-Y|)$ en fonction de $N, \mathbb{P}(A), \mathbb{E}(X 1_{A})$ où A est à expliciter.
Exprimer $\mathbb{E}(X 1_{A})$ en fonction de n, p, $Φ n - 1 (k)$ .

[modifier] Application

Considérons que p vaille $\frac{1}{2}$ .

trouver une expression de $Φ n (k)$ en fonction de la parité de n.
trouver une expression de $Φ n - 1 (k - 1)$ en fonction de la parité de n.
conclure en donnant une expression de l'espérance recherchée.

[modifier] Résolution

Attention il n'existe pas une unique méthode de résolution pour chaque question. Pour des raisons pratiques, je n'en donne qu'une. Si votre courage vous le permet, vous pouvez rajouter votre méthode de résolution pour peu qu'elle soit valide mathématiquement.

[modifier] Question 1

X suit une loi binomiale, de paramètre N,p. Pour rappel, la fonction de densité de la loi est donnée par : $\forall i \in \{0,\cdots, N\}, \mathbb{P}(X=i)=C_{N}^{i} p^i (1-p)^{N-i}$ .

[modifier] Question 2

Soit $Z \sim \mathcal{B}(p)$ , alors $\mathbb{E}(Z)=0 \times (1-p) + 1 \times p=p$ . Or en utilisant la linéarité de l'espérance, on en déduit que $\mathbb{E}(X)=\mathbb{E}(nZ)=n\mathbb{E}(Z)=np$ .
D'où le résultat $\mathbb{E}(X) = np$ .

[modifier] Question 3

Supposons que l'on ait pour une série de N lancés X et Y indépendants, alors il serait possible d'avoir N Faces et N Pile. Or comme on ne peut avoir en même temps l'évènement Pile et Face, avec l'indépendance de X et Y, en N lancés, on en aurait 2N. Ceci est clairement absurde.
D'où X et Y sont liés par la relation : X+Y=N

[modifier] Question 4

Si on écrit la définition de l'intégrale, on a : $\mathbb{E}(1_{A}) = \int_{\Omega} 1_{A} \ d\mathbb{P}$ . $Ω$ peut se réécrire : $\Omega = A \cup A^C.$
On voit que l'intégrale correspond à: $0 \times \int_{A^C} d\mathbb{P} + 1\times \int_{A} d\mathbb{P}$ .
Or par définition $\mathbb{P}(A)=\int_{A} d\mathbb{P}$
D'où le résultat: $\mathbb{E}(1_{A})=\mathbb{P}(A)=\int_{A} d\mathbb{P}$

[modifier] Question 5

$\mathbb{E}((\alpha X + \beta)1_{E}))= \int_{\Omega}(\alpha x + \beta) 1_{E}\ d\mathbb{P}$
En distribuant et utilisant la propriété de linéarité de l'intégrale, on obtient :
$\mathbb{E}((\alpha X + \beta)1_{E}))= \alpha \int_{\Omega} x 1_{E} \ d\mathbb{P} + \beta \int_{\Omega} 1_{E} \ d\mathbb{P}$

Or d'après la question 4, on a que $\mathbb{P}(E)=\int_{\Omega} 1_{E} \ d\mathbb{P}$ . De plus on reconnait la définition de l'espérance dans l'expression : $\mathbb{E}(X 1_{E} \ )= \int_{\Omega} x 1_{E} \ d\mathbb{P}$ .

Par suite, on obtient que : $\mathbb{E}((\alpha X + \beta)1_{E}))=\alpha \mathbb{E}(X 1_{E} ) + \beta \mathbb{P}(E)$

[modifier] Question 6

On a la relation : $\Omega = E \cup E^C$ . Par suite, on peut réécrire la définition de l'Espérence : $\mathbb{E}(X)=\mathbb{E}(X 1_\Omega)=\mathbb{E}(X 1_{\{E \cup E^C\}})$ $\mathbb{E}(X)=\mathbb{E}(X 1_\Omega)=\mathbb{E}(X (1_{E} + 1_{E^C}))$
Par linéarité de l'intégrale : $\mathbb{E}(X)=\mathbb{E}(X 1_\Omega)=\mathbb{E}(X 1_{E}) + \mathbb{E}(X1_{E^C})$

[modifier] Question 7

$\mathbb{E}(|X-Y|)=\mathbb{E}((X-Y)1_{x>y} + (Y-X) 1_{x \leq y})$
Or comme X et Y sont liées par la relation : Y=N-X, on remplace dans l'équation pour obtenir :
$\mathbb{E}(|X-Y|)=\mathbb{E}((2X-N)1_{2x>N} + (N-2X) 1_{2x \leq N})$
$\Leftrightarrow \mathbb{E}(|X-Y|)=\mathbb{E}((2X-N)1_{2x>N}) + \mathbb{E}((N-2X) 1_{2x \leq N})$

En retravaillant l'expression et utilisant la propriété de la question 5:

$\mathbb{E}(|X-Y|)=\mathbb{E}(2X \ 1_{2x>N}) -\mathbb{E}(N \ 1_{2x>N}) + \mathbb{E}(N 1_{2x \leq N})- \mathbb{E}(2X \ 1_{2x \leq N})$

$\Leftrightarrow \mathbb{E}(|X-Y|)=2 \mathbb{E}(X \ 1_{2x>N}) -n \mathbb{P}( 2x>N) + n \mathbb{P}( 2x \leq N)- 2 \mathbb{E}(X \ 1_{2x \leq N})$

Notons : $A = {2 x > N}$
On a que $A^C=\{2x\leq N \}$
Soit avec la nouvelle notation : $\mathbb{E}(|X-Y|)=2 \mathbb{E}(X \ 1_{A}) - N \mathbb{P}(A) + N \mathbb{P}(A^C)- 2 \mathbb{E}(X \ 1_{A^C})$
En utilisant la propriété de la question 6:
$\mathbb{E}(|X-Y|)=2 \mathbb{E}(X \ 1_{A}) + N(1-2 \mathbb{P}(A)) - 2( \mathbb{E}(X) -\mathbb{E}(X \ 1_{A}))$
Soit encore : $\mathbb{E}(|X-Y|)=4 \mathbb{E}(X \ 1_{A}) -2\mathbb{E}(X) + N(1-2 \mathbb{P}(A))$

[modifier] Question 8

Avant tout, travaillons l'expression de l'évènement A. $A = \{ 2X>N \} \Leftrightarrow A = \{ X>N/2 \}$ . Or la loi est dans $\mathbb{N}$ , alors l'évènement doit se réécrire : $A = \{ X> \left[ \frac{N}{2} \right] \}$ .

Posons $a_N \in \mathbb{N}, \ a_N= \left[ \frac{N}{2} \right]$ .

$\mathbb{E}(X 1_{A})= \sum_{k=0}^N k\mathbb{P}(X=k) 1_{A}$

$\Leftrightarrow \mathbb{E}(X 1_{A})= \sum_{k=a_N+1}^N k \frac{N!}{k! (N-k)!} p^k (1-p)^{N-k}$

$\Leftrightarrow \mathbb{E}(X 1_{A})= N \ p \ \sum_{k=a_N+1}^N \frac{N-1!}{(k-1)! (N-k)!} p^{k-1} (1-p)^{N-k}$

On effectue un changement de variable : $m=k-1 , \ \mathbb{E}(X 1_{A})= N \ p \ \sum_{m=a_N}^{N-1} \frac{(N-1)!}{(m)! (N-1-m)!} p^{m} (1-p)^{N-1-k}$

$\Leftrightarrow \mathbb{E}(X 1_{A})= N \ p \ \sum_{m=a_N}^{N-1} \frac{(N-1)!}{(m)! (N-1-m)!} p^{m} (1-p)^{N-1-k}$

$\Leftrightarrow \mathbb{E}(X 1_{A})= N \ p \ \Phi_{N-1}(a_N-1)$

[modifier] Conclusion de la partie théorique

En remarquant que $\mathbb{P}(A)= \Phi_N(a_n)$ , on peut réécrire de façon plus consise l'expression de l'espérence.

$\mathbb{E}(|X-Y|)= N \left( 1-2 \Phi_{N}(a_n)-2p+4p\Phi_{N-1}(a_n-1) \right)$

[modifier] Application

Avant tout, réécrivons la formule de l'Espérence avec le paramètre p=1/2.

$\mathbb{E}(|X-Y|)= 2 N \left(\Phi_{N-1}(a_n-1)-\Phi_{N}(a_n)\right)$

Remarquons aussi que pour $p=1/2, \ \mathbb{P}(X=k)=\mathbb{P}(X=N-k)\ \forall k \in \mathbb{N} \ et \ k\leq N$ .
En effet si on écrit : $\mathbb{P}(X=k)= \frac{1}{2^N}C_{N}^{k}$ , on arrive immédiatement au résultat de la remarque par la propriété des coefficients binomiales.