Variables aléatoires discrètes/Exercices/Autour de la loi Uniforme

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Autour de la loi uniforme
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Exercice 4
Leçon : Variables aléatoires discrètes

Cet exercice est de niveau 13.
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Variables aléatoires discrètes/Exercices/Autour de la loi Uniforme  », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

[modifier] Posons le problème

Le but de cet exercice sera de définir une nouvelle loi à partir de la loi uniforme.

[modifier] Situation initiale

Thomas attend devant un ascenseur qui dessert tous les étages entre le aieme et le bieme. Seulement il n'est pas seul devant. Thomas se pose la question suivante : quelle probabilité ai-je que mon étage soit le premier étage où l'ascenseur s'arrête?

[modifier] Formalisation

On considèrera que (a,b) \in \mathbb{N}^{*2} , et que 0<a \leq b
On considérera également qu'il se trouve devant l'ascenceur N personnes avec N>0.
On notera ei, l'étage choisi par la personne i, et E l'ensemble des étages choisis par les individus E=\{e_1 ; \cdots ; e_N \}

Je ferais l'abus de notation suivant F=\{a ; a+1 ; \cdots ; b-1 ; b\}= [ a ; b ].

De même, on fera les hypothèses suivantes :

  • Une personne choisit aléatoirement et selon une loi uniforme son étage, ie e_i \sim \mathcal{U}([a;b]).
  • les ei sont indépendants et identiquement distribués.

La question devient : \mathbb{P}_{N}(\min(e_i)_{i \in [1 ; N]}=k), avec k \in [a , b]

[modifier] Questions

Les qestions suivantes (hors application numerique) sont classées par ordre croissant de difficulté.

  1. Calculer : \forall i \in [1 ; N], \mathbb{P}(e_i=k)
  2. Que vaut l'ensemble E lorsqu'on a : \min(e_i)_{i \in [1 ; N]}=b. En Déduire \mathbb{P}_{N}(\min(e_i)_{i \in [1 ; N]}=b)
  3. Calculer \mathbb{P}(e_i \geq k) et en déduire \mathbb{P}_{N}(\min(e_i)_{i \in [1 ; N]} \geq k)
  4. Après avoir exprimé \mathbb{P}_{N}(\min(e_i)_{i \in [1 ; N]} = k) en fonction de \mathbb{P}_{N}(\min(e_i)_{i \in [1 ; N]} \geq k) et \mathbb{P}_{N}(\min(e_i)_{i \in [1 ; N]} \geq k+1), donné sa valeur.
  5. Aplpication numerique, l'ascenseur dessert tous les étages entre le premier et le dixième étage. Il y a dix personnes qui prennent l'ascenseur. Quelle est la probabilité que je sois le premier à descendre alors que je descend au sixième.

[modifier] Question 1

Par hypothèse on a que e_i \sim \mathcal{U}([a;b]) , et qu'ils sont i.i.d donc \forall i \in [ 1 ; N ] ,\mathbb{P}(e_i=k)=\frac{1}{Card(F)}.
Or card(F) = 1 + b − a. Finalement on obtient que : \forall k \in [a;b], \mathbb{P}(e_i=k)=\frac{1}{1+b-a}=Cte.

[modifier] Question 2 : Cas particulier

Pour que min(E) = b = max([a;b]), il faut que tous les éléments de E, sans aucune exception, valent b.
Or il n'y a qu'une seule façon de tirer, donc la probabilité recherchée vaut :
\mathbb{P}_{N}(\min(e_i)_{i \in [1 ; N]}=b)= 1 \times \Big( \mathbb{P}(e_i=b)\Big)^N \Leftrightarrow \mathbb{P}_{N}(\min(e_i)_{i \in [1 ; N]}=b)= \Big( \frac{1}{1+b-a} \Big)^N .

[modifier] Question 3

\mathbb{P}(e_i \geq k)=\sum_{j=k}^{b} \mathbb{P}(e_i =j).
Or d'après la question 1, on sait que \mathbb{P}(e_i=k)=\frac{1}{1+b-a}, on en tire immédiatement la relation : \mathbb{P}(e_i \geq k)=\mathbb{P}(e_i =k) \sum_{j=k}^{b}1 .
Finalement : \mathbb{P}(e_i \geq k)=(1+b-k)\mathbb{P}(e_i =k)=\frac{1+b-k}{1+b-a}.

En appliquant le même raisonnement que pour la question 2, on a que : \min(e_i)_{i \in [1 ; N]} \geq k \Rightarrow \forall i \in [1 ; N], e_i \geq k.
D'où, \mathbb{P}_N(\min(e_i)_{i \in [1 ; N]} \geq k) \Rightarrow \mathbb{P}_N(\forall i \in [1 ; N], e_i \geq k) \Rightarrow \mathbb{P}_N(\min(e_i)_{i \in [1 ; N]} \geq k)=\mathbb{P}^N(e_i \geq k)

Conclusion : \mathbb{P}_N(\min(e_i)_{i \in [1 ; N]} \geq k)=\mathbb{P}^N(e_i \geq k)=\Big(\frac{1+b-k}{1+b-a} \Big)^N

[modifier] Question 4 : Cas Général

Réécrivons l'égalité : \min(e_i)_{i \in [1 ; N]}= k
\min(e_i)_{i \in [1 ; N]} = k \Leftrightarrow \{\min(e_i)_{i \in [1 ; N]} \geq k\} \backslash \{\min(e_i)_{i \in [1 ; N]} \geq k+1\}.

De cette réécriture on déduit que : \mathbb{P}(\min(e_i)_{i \in [1 ; N]} = k) \Leftrightarrow \mathbb{P}(\{\min(e_i)_{i \in [1 ; N]} \geq k\} \backslash \{\min(e_i)_{i \in [1 ; N]} \geq k+1\})=\mathbb{P}(\min(e_i)_{i \in [1 ; N]} \geq k) - \mathbb{P}(\min(e_i)_{i \in [1 ; N]} \geq k+1).

La question 3 nous permet de conclure : \mathbb{P}_N(\min(e_i)_{i \in [1 ; N]} = k)=\frac{(1+b-k)^N-(b-k)^N}{(1+b-a)^N}

[modifier] Question 5

Il suffit d'appliquer la formule avec :

  • N=10
  • b=10 ; a=1
  • k=6


\mathbb{P}_{10}(\min(e_i)_{i \in [1 ; 10]} = 6)=\frac{(1+b-k)^N-(b-k)^N}{(1+b-a)^N}=\frac{5^{10}-4^{10}}{10^{10}} \sim 8,7 \times 10^{-4}

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