Variables aléatoires continues/Loi normale

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Loi normale
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Chapitre no3
Leçon : Variables aléatoires continues
Chap. préc. : Loi uniforme
Chap. suiv. : Loi exponentielle
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Présentation[modifier | modifier le wikitexte]

La loi normale est la loi de probabilité continue la plus connue.

On la retrouve dans de nombreuses situations concrètes, et aussi dans de nombreux résultats théoriques.

Sa densité de probabilité est la célèbre "courbe en cloche" de Gauss.

Définition[modifier | modifier le wikitexte]

La loi normale est une loi de probabilité pour les variables aléatoires continues.

On la définit au moyen d'une densité de probabilité

(Voir Variables aléatoires continues/Définitions).



Image logo indiquant une information importante La notation \mathcal N(m , \sigma) peut aussi être rencontrée. Le paramètre \sigma représente l'écart-type, et \sigma^2 la variance. Il faut donc faire attention à la valeur (variance ou écart-type) considérée comme deuxième paramètre.

Courbes en cloche[modifier | modifier le wikitexte]

On a tracé ci-dessous des exemples de densités gaussiennes pour différentes valeurs des paramètres.

On observe la forme "en cloche", que l'on peut observer en statistiques quand on construit l'histogramme d'un caractère dépendant d'un grand nombre de données :

  • la taille d'un individu (dépend de la taille de ses parents, de son alimentation, de son mode de vie, ...)
  • la conformité d'une pièce technologique.
  • etc.
Normal distribution pdf.png

Espérance[modifier | modifier le wikitexte]

Début d'un théorème
Fin du théorème



Début d'un lemme
Fin du lemme



Début d'une démonstration
Fin de la démonstration



Début d'une démonstration
Fin de la démonstration


Variance et écart-type[modifier | modifier le wikitexte]

Début d'un théorème
Fin du théorème



Début d'une démonstration
Fin de la démonstration




Début d'une démonstration
Fin de la démonstration


Remarques[modifier | modifier le wikitexte]

  • Les paramètres d'une loi normale sont définis pour être exactement l'espérance et la variance de cette loi. Cela facilite la mémorisation.

Moments[modifier | modifier le wikitexte]



Début d'une démonstration
Fin de la démonstration


Propriétés[modifier | modifier le wikitexte]










Début d'une démonstration
Fin de la démonstration



Début d'une démonstration
Fin de la démonstration


Fonction génératrice des moments[modifier | modifier le wikitexte]



Début d'une démonstration
Fin de la démonstration


Coefficient d'asymétrie[modifier | modifier le wikitexte]


Kurtosis[modifier | modifier le wikitexte]


Cette valeur est significative : en effet, X \sim \mathcal N (\mu,\sigma^2), \mathbb P (-3 \sigma \le X - \mu \le 3 \sigma) \approx 0,997 .

Souvent, on normalise la kurtosis d'une loi en lui soustrayant 3.

Loi normale centrée réduite[modifier | modifier le wikitexte]


Remarque[modifier | modifier le wikitexte]

  • Dans les applications concrètes, on se ramène à la table de probabilités de cette loi centrée réduite.

Changement de variable[modifier | modifier le wikitexte]

Début d'un théorème
Fin du théorème


Table de probabilité[modifier | modifier le wikitexte]

On donne ici le lien vers la table de probabilité de la loi normale centrée réduite. Dans ce tableau, on donne :

\mathbb P(T\leq a)

pour a appartenant à [0 ; 3,69]. Notons que l'entrée en lignes représente les chiffres des unités et des dixièmes de a, et que l'entrée en colonnes représente le chiffre des centièmes de a.

Exemples[modifier | modifier le wikitexte]

  • Si T suit une loi normale centrée réduite, déterminer à l'aide de la table la probabilité que T soit inférieure ou égale à 1,00.
  • Si X suit une loi normale \mathcal N(1;2). Déterminer la probabilité pour que X\leq 3.


Variables aléatoires continues
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