Trigonométrie hyperbolique/Fonctions hyperboliques réciproques

Une page de Wikiversité.

Trigonométrie hyperbolique/Fonctions hyperboliques réciproques est une ébauche concernant les mathématiques. Vous pouvez aider le projet Wikiversité en l'améliorant.

**Fonctions hyperboliques réciproques**
Leçon : Trigonométrie hyperbolique

Chapitre 2
Chap. préc. :	Fonctions hyperboliques
Chap. suiv. :	Compléments géométriques

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Trigonométrie hyperbolique : Fonctions hyperboliques réciproques
Trigonométrie hyperbolique/Fonctions hyperboliques réciproques », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

1 Argument cosinus hyperbolique
2 Argument sinus hyperbolique
3 Argument tangente hyperbolique
4 Dérivabilité
5 Composition des fonctions hyperboliques directes et réciproques

[modifier] Argument cosinus hyperbolique

Propriété

ch établit une bijection de $\R^+$ sur $[1,+\infty[$ .

Définition

On définit la fonction argument cosinus hyperbolique, notée Argch la réciproque de $\mathrm{ch}|_{\R^+}$ .

Expression explicite de Argch

$\forall x\in[1,+\infty[,~\mathrm{Argch}(x)=\ln(x+\sqrt{x^2-1})$

[modifier] Argument sinus hyperbolique

Propriété

sh établit une bijection de $\R$ sur $\R$ .

Définition

On définit la fonction argument sinus hyperbolique, notée Argsh la réciproque de sh.

Expression explicite de Argsh

$\forall x\in\R,~\mathrm{Argsh}(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$

[modifier] Argument tangente hyperbolique

Propriété

th établit une bijection de $\R$ sur ]-1,1[.

Définition

On définit la fonction argument tangente hyperbolique, notée Argth la réciproque de th.

Expression explicite de Argth

$\forall x\in]-1,1[,~\mathrm{Argth}(x)=\frac12\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$

[modifier] Dérivabilité

Propriété

Argch est dérivable sur $]1,+\infty[$ et $\forall x\in]1,+\infty[,~\mathrm{Argch}'(x)=\frac1{\sqrt{x^2-1}}$
Argsh est dérivable sur $\R$ et $\forall x\in\R,~\mathrm{Argsh}'(x)=\frac1{\sqrt{x^2+1}}$
Argth est dérivable sur ]-1,1[ et $\forall x\in]-1,1[,~\mathrm{Argth}'(x)=\frac1{1-x^2}$