Trigonométrie hyperbolique/Fonctions hyperboliques

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**Fonctions hyperboliques**
Leçon : Trigonométrie hyperbolique

Chapitre 1
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Chap. suiv. :	Fonctions hyperboliques réciproques

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Sommaire

1 Définitions
2 Propriétés
3 Comparaison avec la trigonométrie circulaire

[modifier] Définitions

[modifier] Cosinus hyperbolique

Définition

On définit la fonction cosinus hyperbolique, notée ch par

$\begin{array}{ccccc} \mathrm{ch}&:&\R&\rightarrow&\R\\ ~&~&x&\mapsto&\displaystyle{\frac{e^x+e^{-x}}2} \end{array}$

Remarque

La fonction cosinus hyperbolique est paire.

[modifier] Sinus hyperbolique

Définition

On définit la fonction sinus hyperbolique, notée sh par

$\begin{array}{ccccc} \mathrm{sh}&:&\R&\rightarrow&\R\\ ~&~&x&\mapsto&\displaystyle{\frac{e^x-e^{-x}}2} \end{array}$

Remarque

La fonction sinus hyperbolique est impaire.

[modifier] Tangente hyperbolique

Définition

On définit la fonction tangente hyperbolique, notée th par

$\begin{array}{ccccc} \mathrm{th}&:&\R&\rightarrow&\R\\ ~&~&x&\mapsto&\displaystyle{\frac{\mathrm{sh}(x)}{\mathrm{ch}(x)}} \end{array}$

Remarque

La fonction tangente hyperbolique est impaire.

[modifier] Propriétés

[modifier] Relation fondamentale

Théorème

$\mathrm{ch}^2-\mathrm{sh}^2=~1$

Cette relation permet une interprétation géométrique.

Démonstration

Soit $x\in\R$ .

$\begin{align} \mathrm{ch}^2(x)-\mathrm{sh}^2(x)&=\left(\frac{e^x+e^{-x}}2\right)^2-\left(\frac{e^x-e^{-x}}2\right)^2\\ &=\frac14(e^{2x}+2+e^{-2x})-\frac14(e^{2x}-2+e^{-2x})\\&=1 \end{align}$

[modifier] Dérivabilité

Propriété

Les fonctions ch, sh et th sont dérivables sur $\R$ et :

$\mathrm{ch}'=\mathrm{sh}\,$
$\mathrm{sh}'=\mathrm{ch}\,$
$\mathrm{th}'=\frac1{\mathrm{ch}^2}=1-\mathrm{th}^2$

[modifier] Variations

Propriété

sh est strictement croissante sur $\R$ .
ch est strictement croissante sur $\R^+$ et strictement décroissante sur $\R^-$ .
th est strictement croissante sur $\R$ .

Démonstration

Soit $x\in\R$

Variations de sh :
- $\mathrm{sh}'(x)=\frac{e^x+e^{-x}}2>0$ donc sh est strictement croissante sur $\R$
Variations de ch :
- $\mathrm{ch}'(x)=\frac{e^x-e^{-x}}2$
- $\frac{e^x-e^{-x}}2\geq0\Leftrightarrow e^x\geq e^{-x} \Leftrightarrow x\geq -x \Leftrightarrow x\geq0$
- De plus, $\frac{e^x-e^{-x}}2=0 \Leftrightarrow x=0$
- Donc ch est strictement décroissante sur $\R^-$ et strictement croissante sur $\R^+$
Variations de th :
- $\mathrm{th}'(x)=\frac1{\mathrm{ch}^2(x)}$ et ch>0 donc th est strictement croissante sur $\R$

[modifier] Limites

Limite en $-\infty$	Limite en $+\infty$
$\lim_{x\rightarrow-\infty}\mathrm{ch}(x)=+\infty$	$\lim_{x\rightarrow+\infty}\mathrm{ch}(x)=+\infty$
$\lim_{x\rightarrow-\infty}\mathrm{sh}(x)=-\infty$	$\lim_{x\rightarrow+\infty}\mathrm{sh}(x)=+\infty$
$\lim_{x\rightarrow-\infty}\mathrm{th}(x)=-1$	$\lim_{x\rightarrow+\infty}\mathrm{th}(x)=1$

Limites de th

Soit $x\in\R$

$\begin{align}\mathrm{th}(x)&=\frac{\mathrm{sh}(x)}{\mathrm{ch}(x)}\\ &=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} &=\frac{e^x(1-e^{-2x})}{e^x(1+e^{-2x})} &=\frac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}} \end{align}$

On en déduit alors facilement $\lim_{x\rightarrow+\infty}\mathrm{th}(x)=1$ .

Par imparité de la fonction th, on a $\lim_{x\rightarrow-\infty}\mathrm{th}(x)=-1$ .

[modifier] Comparaison avec la trigonométrie circulaire

On remarque une grande symétrie des définitions entre les fonctions trigonométriques circulaires et hyperboliques :

Trigonométrie circulaire	Trigonométrie hyperbolique
$\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}2$	$\mathrm{ch}(x)=\frac{e^x+e^{-x}}2$
$\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$	$\mathrm{sh}(x)=\frac{e^x-e^{-x}}2$
$\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$	$\mathrm{th}(x)=\frac{\mathrm{sh}(x)}{\mathrm{ch}(x)}$
$\cos^2+\sin^2=~1$	$\mathrm{ch}^2-\mathrm{sh}^2=~1$
$\cos'=-\sin\,$	$\mathrm{ch}'=\mathrm{sh}\,$
$\sin'=\cos\,$	$\mathrm{sh}'=\mathrm{ch}\,$
$\tan'=\frac1{\cos^2}=1+\tan^2$	$\mathrm{th}'=\frac1{\mathrm{ch}^2}=1-\mathrm{th}^2$

On se demande alors s'il n'y aurait pas un moyen pratique facile de passer d'une trigonométrie à l'autre.

« Recette de cuisine »

On connaît une formule de trigonométrie circulaire et on aimerait trouver un équivalent en trigonométrie hyperbolique.

On écrit la formule en trigonométrie circulaire.
On remplace :
- sin par i sh, où i²=-1
- cos par ch
- tan par i th
Les i doivent se simplifier et on obtient la formule en trigonométrie hyperbolique.
On fait la preuve de la formule en utilisant les exponentielles maintenant qu'on sait dans quelle direction faire le calcul.

Exemple

Soit $x\in\R$ . On voudrait exprimer sh(2x) en fonction de sh(x) et ch(x):

sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)
On effectue les remplacements : i sh(2x) = 2i sh(x) ch(x) donc sh(2x) = 2 sh(x) ch(x)
On fait la preuve :

$\begin{align} 2\mathrm{sh}(x)\mathrm{ch}(x)&=2\frac{(e^x-e^{-x})}2\frac{(e^x+e^{-x})}2\\ &=\frac12 (e^{2x}-e^{-2x})\\ &=\mathrm{sh}(2x) \end{align}$

Trigonométrie hyperbolique

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Fonctions hyperboliques réciproques

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