Trigonométrie hyperbolique/Fonctions hyperboliques

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Fonctions hyperboliques
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Chapitre no1
Leçon : Trigonométrie hyperbolique
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Définitions[modifier | modifier le wikicode]

Cosinus hyperbolique[modifier | modifier le wikicode]




Sinus hyperbolique[modifier | modifier le wikicode]




Tangente hyperbolique[modifier | modifier le wikicode]




Propriétés[modifier | modifier le wikicode]

Relation fondamentale[modifier | modifier le wikicode]

Début d'un théorème
Fin du théorème



Début d'une démonstration
Fin de la démonstration


Somme et exponentielle[modifier | modifier le wikicode]

On a : \forall x \in \R,\, \mathrm{ch}(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2},\, \mathrm{sh}(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}.

D'où : \mathrm{ch}(x) + \mathrm{sh}(x) = \frac{e^x + e^{-x} + e^x - e^{-x}}{2} = \frac{1}{2}2e^x = e^x.



Dérivabilité[modifier | modifier le wikicode]


Variations[modifier | modifier le wikicode]



Début d'une démonstration
Fin de la démonstration


Limites[modifier | modifier le wikicode]

Limite en -\infty Limite en +\infty
\lim_{x\rightarrow-\infty}\mathrm{ch}(x)=+\infty \lim_{x\rightarrow+\infty}\mathrm{ch}(x)=+\infty
\lim_{x\rightarrow-\infty}\mathrm{sh}(x)=-\infty \lim_{x\rightarrow+\infty}\mathrm{sh}(x)=+\infty
\lim_{x\rightarrow-\infty}\mathrm{th}(x)=-1 \lim_{x\rightarrow+\infty}\mathrm{th}(x)=1


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration


Comparaison avec la trigonométrie circulaire[modifier | modifier le wikicode]

On remarque une grande symétrie des définitions entre les fonctions trigonométriques circulaires et hyperboliques :

Trigonométrie circulaire Trigonométrie hyperbolique
\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}2 \mathrm{ch}(x)=\frac{e^x+e^{-x}}2
\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \mathrm{sh}(x)=\frac{e^x-e^{-x}}2
\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \mathrm{th}(x)=\frac{\mathrm{sh}(x)}{\mathrm{ch}(x)}
\cos^2+\sin^2=~1 \mathrm{ch}^2-\mathrm{sh}^2=~1
\cos'=-\sin\, \mathrm{ch}'=\mathrm{sh}\,
\sin'=\cos\, \mathrm{sh}'=\mathrm{ch}\,
\tan'=\frac1{\cos^2}=1+\tan^2 \mathrm{th}'=\frac1{\mathrm{ch}^2}=1-\mathrm{th}^2

On se demande alors s'il n'y aurait pas un moyen pratique facile de passer d'une trigonométrie à l'autre.


Début d'un principe
Fin du principe



Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Lien avec la trigonométrie complexe[modifier | modifier le wikicode]

On sait d'après le formule d'Euler que \forall x \in \R,~e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x).
En substituant x par -ix, on obtient : e^{-i^2x} = \cos(-ix) + i\sin(-ix) \Leftrightarrow e^x = \cos(ix) - i\sin(ix), cos et sin étant respectivement paire et impaire.

Avec la formule de la somme du cosinus hyperbolique et du sinus hyperbolique qui est égale à l'exponentielle, on retrouve facilement les formules suivantes :




Trigonométrie hyperbolique
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