Trigonométrie/Trigonométrie réciproque

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**Trigonométrie réciproque**
Leçon : Trigonométrie

Chapitre 7
Chap. préc. :	Les formules de trigonométrie

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Trigonométrie/Trigonométrie réciproque », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Fonctions arcsinus et arccosinus

La fonction sinus est une surjection de $\scriptstyle\R$ vers $\scriptstyle [-1;1]$ . Elle devient bijective si l'on ne considère que les angles compris dans l'intervalle $\scriptstyle [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$ (ou encore, plus généralement, dans l'intervalle $\scriptstyle [(4k-1)\frac{\pi}{2};(4k+1)\frac{\pi}{2}],\ k\in\N$ ). Il en est de même pour la fonction cosinus avec les angles allant de 0 à $\scriptstyle\pi$ (ou de $\scriptstyle 2k\pi$ à $\scriptstyle (2k+1)\pi$ ).

Par restriction à ces derniers intervalles, on peut définir les applications réciproques de ces fonctions.

Définitions

On appelle arcsinus et on note $arcsin$ l'unique application réciproque de la restriction de sinus à l'intervalle $\scriptstyle \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right]$ .

$\arcsin x = y \Leftrightarrow x = \sin y,\ x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$

On appelle arccosinus et on note $arccos$ l'unique application réciproque de la restriction de cosinus à l'intervalle $\scriptstyle [0;\pi]$ .

$\arccos x = y \Leftrightarrow x = \cos y,\ x\in [0;\pi]$

Exemples

$\begin{array}{lcll} \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} &\quad\mbox{et}\quad &\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} &\\ \sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} &\quad\mbox{mais}\quad &\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} &\quad \left(\frac{2\pi}{3}\notin \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]\right)\\ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} &\quad\mbox{et}\quad &\arccos\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4} &\\ \cos -\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} &\quad\mbox{mais}\quad &\arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3} &\quad \left(-\frac{\pi}{3}\notin \left[0;\pi\right]\right) \end{array}$

Remarques :

$\arcsin(\sin x) = x,\ x\in \textstyle\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$
$\arccos(\cos x) = x,\ x\in\left[0;\pi\right]$
$\sin(\arcsin x) = x,\ x\in [-1;1]$
$\cos(\arccos x) = x,\ x\in [-1;1]$