Trigonométrie/Relations trigonométriques

Une page de Wikiversité.

**Relations trigonométriques**
Leçon : Trigonométrie

Chapitre 7
Chap. préc. :	Tangente dans un triangle rectangle
Chap. suiv. :	Théorème du cosinus

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Trigonométrie : Relations trigonométriques
Trigonométrie/Relations trigonométriques », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Ce sont des égalités qui relient les fonctions trigonométriques cosinus, sinus et tangente entre elles.

Sommaire

1 La tangente comme quotient
2 Formule liant cosinus et sinus (Formule fondamentale)
3 Propriétés des arc associés
4 Formules de trigonométrie

[modifier] La tangente comme quotient

On a pour toute mesure x (différente de $\frac \pi 2$ et de $- \frac \pi 2$ ) d'un angle : $\tan{x}=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}$

Démonstration

On a vu que

$\cos \widehat {A} = \frac{AB}{AC} \qquad \sin \widehat {A} = \frac{BC}{AC} \qquad\tan \widehat {A} = \frac{BC}{AB}.$

Ainsi

$\tan \widehat {A} = \frac{BC}{AB}=\frac{\frac{BC}{AC}}{\frac{AB}{AC}}=\frac{\sin \widehat {A}}{\cos \widehat {A}}$

donc pour tout angle $x$ différent de $\frac \pi 2$ et de $- \frac \pi 2$ (car $\cos x \ne 0$ ) , on a : $\tan{x}=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}$

Il manque les angles obtus!!

Exemple

Sachant que $\scriptstyle \cos{\hat{A}} = 0,5$ et $\scriptstyle \sin{\hat{A}}\approx 0,866$ , calculer une valeur approchée de $\scriptstyle \tan{\hat{A}}.$

Solution

$\tan{\hat{A}}=\frac{\sin{\hat{A}}}{\cos{\hat{A}}} \approx \frac{0,866}{0,5} \approx 1,732$

[modifier] Formule liant cosinus et sinus (Formule fondamentale)

On a pour toute mesure x d'un angle : $(\cos{x})^2 + (\sin{x})^2 = 1\,$

Démonstration

Méthode analytique

On a vu que

$\cos \widehat {A} = \frac{AB}{AC}$
$\sin \widehat {A} = \frac{BC}{AC}$

Ainsi

$\cos^2 {\widehat {A}} = (\frac{AB}{AC})^2$
$\sin^2 \widehat {A} = (\frac{BC}{AC})^2$
$\cos^2 \widehat {A} +sin^2 \widehat {A} = \frac{AB^2}{AC^2}+ \frac{BC^2}{AC^2} = \frac{AB^2+BC^2}{AC^2}$

Le théorème de Pythagore stipulant que

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés

On a $A B 2 + B C 2 = A C 2$ et donc $\frac{AB^2+BC^2}{AC^2}=1$

Ainsi

$\cos^2 {\widehat {A}}+\sin^2 \widehat {A}=1$

Élargissons, car en effet pour tout , $cos 2 x > = 0$ et $sin 2 x > = 0$

et… pour tout , $cos 2 x + sin 2 x = 1$

Méthode trigonométrique

Le triangle trigonométrique montrant les rapports entre sinus et cosinus

Sur le cercle trigonometrique ci-contre, on peut utiliser Le théorème de Pythagore

Ce dernier stipulant que

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés

Ainsi cela se traduit par :

$A D 2 + C D 2 = A C 2$

Or, ici

$A C = 1$
$AD= \cos \widehat{CAD}$
$CD= \sin \widehat{CAD}$

Et ainsi

$\cos^2\widehat{CAD}+\sin^2\widehat{CAD}=1$

Élargissons, car en effet pour tout , $\cos^2{x} \ge 0$ et $\sin^2{x} \ge 0$

et… pour tout , $cos 2 x + sin 2 x = 1$

[modifier] Exemple : Calcul du sinus à partir du cosinus

Sachant que $\scriptstyle{\cos{\hat{A}} = 0,5}$ , calculer une valeur exacte de $sin x$

Solution

On a la formule : $(\cos{\hat{A}})^2 + (\sin{\hat{A}})^2 = 1$

donc : $(\sin{\hat{A}})^2 =1 - (\cos{\hat{A}})^2= 1- 0,5^2 =1 - 0,25 = 0,75 = \frac{3}{4}$

donc : $\sin{\hat{A}}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ou $\sin{\hat{A}} = -\sqrt{\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

PS : attention n'oubliez pas la racine négative c'est une erreur courante

[modifier] Propriétés des arc associés

On montre aisément, à l'aide de symétries, les propriétés suivantes.

$\begin{align} \cos (-a) &= \cos a \\ \sin (-a) &= -\sin a \\ \tan (-a) &= -\tan a \end{align}$		$\begin{align} \cos (\pi - a) &= -\cos a \\ \sin (\pi - a) &= \sin a \\ \tan (\pi - a) &= -\tan a \end{align}$
$\begin{align} \cos \left(\frac{\pi}{2} - a \right) &= \sin a \\ \sin \left(\frac{\pi}{2} - a \right) &= \cos a \\ \tan \left(\frac{\pi}{2} - a \right) &= \frac{1}{\tan a} = \cot a \end{align}$		$\begin{align} \cos (\pi + a) &= -\cos a \\ \sin (\pi + a) &= -\sin a \\ \tan (\pi + a) &= \tan a \end{align}$
$\begin{align} \cos \left(\frac{\pi}{2} + a \right) &= -\sin a \\ \sin \left(\frac{\pi}{2} + a \right) &= \cos a \\ \tan \left(\frac{\pi}{2} + a \right) &= -\frac{1}{\tan a} = -\cot a \end{align}$

[modifier] Formules de trigonométrie

Nous démontrerons en annexe 3 les formulaires ci-dessous sur les fonctions circulaires $sin$ , $cos$ et $tan$ .

Soient $a$ et $b$ deux réels.

[modifier] Formulaire 1 : addition

$\begin{align} \cos (a+b) &= \cos a \cos b - \sin a \sin b \\ \cos (a-b) &= \cos a \cos b + \sin a \sin b \\ \sin (a+b) &= \sin a \cos b + \cos a \sin b \\ \sin (a-b) &= \sin a \cos b - \cos a \sin b \\ \tan (a+b) &= \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} \\ \tan (a-b) &= \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b} \\ \end{align}$

[modifier] Formulaire 2 : duplication

$\begin{align} \cos 2a &= \cos^2 a - \sin^2 a \\ &= 2\cos^2 a - 1 \\ &= 1 - 2\sin^2 a \\ \sin 2a &= 2\sin a \cos a \\ \tan 2a &= \frac{2\tan a}{1 - \tan^2 a} \\ \end{align}$

[modifier] Formulaire 3 : linéarisation (formules de Carnot)

$\begin{align} \cos^2 a &= \frac{1 + \cos 2a}{2} \\ \sin^2 a &= \frac{1 - \cos 2a}{2} \\ \end{align}$

[modifier] Formulaire 4 : produit-somme

$\begin{align} \cos a \cos b &= \frac{1}{2}\left[\cos (a+b) + \cos (a-b)\right] \\ \sin a \sin b &= -\frac{1}{2}\left[\cos (a+b) - \cos (a-b)\right] \\ \sin a \cos b &= \frac{1}{2}\left[\sin (a+b) + \sin (a-b)\right] \\ \end{align}$

[modifier] Formulaire 5 : somme-produit (formules de Simpson)

$\begin{align} \cos a + \cos b &= 2\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right) \\ \cos a - \cos b &= -2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\sin\left(\frac{a-b}{2}\right) \\ \sin a + \sin b &= 2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right) \\ \sin a - \sin b &= 2\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)\sin\left(\frac{a-b}{2}\right) \\ \tan a + \tan b &= \frac{\sin (a+b)}{\cos a \cos b} \\ \tan a - \tan b &= \frac{\sin (a-b)}{\cos a \cos b} \\ \end{align}$

Trigonométrie

Tangente dans un triangle rectangle

Théorème du cosinus

Trigonométrie/Relations trigonométriques

Une page de Wikiversité.

Sommaire

[modifier] La tangente comme quotient

[modifier] Formule liant cosinus et sinus (Formule fondamentale)

Méthode analytique

Méthode trigonométrique

[modifier] Exemple : Calcul du sinus à partir du cosinus

[modifier] Propriétés des arc associés

[modifier] Formules de trigonométrie

[modifier] Formulaire 1 : addition

[modifier] Formulaire 2 : duplication

[modifier] Formulaire 3 : linéarisation (formules de Carnot)

[modifier] Formulaire 4 : produit-somme

[modifier] Formulaire 5 : somme-produit (formules de Simpson)

Affichages

Outils personnels

Rechercher

Navigation

Contribuer

Imprimer / exporter

Boîte à outils