Trigonométrie/Relations trigonométriques

Une page de Wikiversité.
Aller à : navigation, rechercher
Début de la boite de navigation du chapitre



Relations trigonométriques
Icône de la faculté
Chapitre no7
Leçon : Trigonométrie
Chap. préc. : Tangente dans un triangle rectangle
Chap. suiv. : Théorème du cosinus
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Trigonométrie : Relations trigonométriques
Trigonométrie/Relations trigonométriques
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Ce sont des égalités qui relient les fonctions trigonométriques cosinus, sinus et tangente entre elles.

La tangente comme quotient[modifier | modifier le wikicode]

On a pour toute mesure x (différente de \frac \pi 2 et de  - \frac \pi 2) d'un angle : \tan{x}=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Formule liant cosinus et sinus (Formule fondamentale)[modifier | modifier le wikicode]

On a pour toute mesure x d'un angle : (\cos{x})^2 + (\sin{x})^2 = 1\,


Exemple : Calcul du sinus à partir du cosinus[modifier | modifier le wikicode]

Sachant que \scriptstyle{\cos{\hat{A}} = 0,5}, calculer une valeur exacte de \sin{x}

Propriétés des arc associés[modifier | modifier le wikicode]

On montre aisément, à l'aide de symétries, les propriétés suivantes.

\begin{align}
\cos (-a) &= \cos a \\
\sin (-a) &= -\sin a \\
\tan (-a) &= -\tan a
\end{align} Trigo arc opp.svg \begin{align}
\cos (\pi - a) &= -\cos a \\
\sin (\pi - a) &= \sin a \\
\tan (\pi - a) &= -\tan a
\end{align} Trigo arc supp.svg
\begin{align}
\cos \left(\frac{\pi}{2} - a \right) &= \sin a \\
\sin \left(\frac{\pi}{2} - a \right) &= \cos a \\
\tan \left(\frac{\pi}{2} - a \right) &= \frac{1}{\tan a} = \cot a
\end{align} Trigo arc comp.svg \begin{align}
\cos (\pi + a) &= -\cos a \\
\sin (\pi + a) &= -\sin a \\
\tan (\pi + a) &= \tan a
\end{align} Trigo arc 180.svg
\begin{align}
\cos \left(\frac{\pi}{2} + a \right) &= -\sin a \\
\sin \left(\frac{\pi}{2} + a \right) &= \cos a \\
\tan \left(\frac{\pi}{2} + a \right) &= -\frac{1}{\tan a} = -\cot a
\end{align} Trigo arc 90.svg

Formules de trigonométrie[modifier | modifier le wikicode]

Nous démontrerons en annexe 3 les formulaires ci-dessous sur les fonctions circulaires \sin, \cos et \tan.

Soient a et b deux réels.

Formulaire 1 : addition[modifier | modifier le wikicode]


\begin{align}
\cos (a+b) &= \cos a \cos b - \sin a \sin b \\
\cos (a-b) &= \cos a \cos b + \sin a \sin b \\
\sin (a+b) &= \sin a \cos b + \cos a \sin b \\
\sin (a-b) &= \sin a \cos b - \cos a \sin b \\
\tan (a+b) &= \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} \\
\tan (a-b) &= \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b} \\
\end{align}

\cos(a-2p)=-\arctan(a+2p) si p<a

Formulaire 2 : duplication[modifier | modifier le wikicode]


\begin{align}
\cos 2a &= \cos^2 a - \sin^2 a \\
&= 2\cos^2 a - 1 \\
&= 1 - 2\sin^2 a \\
\sin 2a &= 2\sin a \cos a \\
\tan 2a &= \frac{2\tan a}{1 - \tan^2 a} \\
\end{align}

Formulaire 3 : linéarisation (formules de Carnot)[modifier | modifier le wikicode]


\begin{align}
\cos^2 a &= \frac{1 + \cos 2a}{2} \\
\sin^2 a &= \frac{1 - \cos 2a}{2} \\
\end{align}

Formulaire 4 : produit-somme[modifier | modifier le wikicode]


\begin{align}
\cos a \cos b &= \frac{1}{2}\left[\cos (a+b) + \cos (a-b)\right] \\
\sin a \sin b &= -\frac{1}{2}\left[\cos (a+b) - \cos (a-b)\right] \\
\sin a \cos b &= \frac{1}{2}\left[\sin (a+b) + \sin (a-b)\right] \\
\end{align}

Formulaire 5 : somme-produit (formules de Simpson)[modifier | modifier le wikicode]


\begin{align}
\cos a + \cos b &= 2\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right) \\
\cos a - \cos b &= -2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\sin\left(\frac{a-b}{2}\right) \\
\sin a + \sin b &= 2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right) \\
\sin a - \sin b &= 2\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)\sin\left(\frac{a-b}{2}\right) \\
\tan a + \tan b &= \frac{\sin (a+b)}{\cos a \cos b} \\
\tan a - \tan b &= \frac{\sin (a-b)}{\cos a \cos b} \\
\end{align}



Trigonométrie
bouton image vers le chapitre précédent Tangente dans un triangle rectangle