Trigonométrie/Exercices/Trigonométrie réciproque

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**Trigonométrie réciproque**
Leçon : Trigonométrie

Exercice 1

Cet exercice est de niveau 12.

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Trigonométrie/Exercices/Trigonométrie réciproque », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

1 Résolutions d'équations
- 1.1 Exercice 1
- 1.2 Exercice 2

[modifier] Résolutions d'équations

[modifier] Exercice 1

Résoudre l'équation :

$2 \arccos{(x)} = \arcsin{(2x)}\,\!$

Solution

$D = \left[ - \frac{1}{2} ; \frac{1}{2} \right]\,$

On remarque que l'on ne peut pas procéder par équivalences.

Conditions nécessaires :

$2 \arccos{(x)} = \arcsin{(2x)} \Rightarrow \sin{(2 \arccos{(x)})} = 2x\,$

$\Rightarrow 2x \sqrt{1 - x^{2}} = 2x\,$

$\Rightarrow x=0\,$ ou $1 = \sqrt{1-x^{2}}\,$

$\Rightarrow x=0\,$

Conditions suffisantes :

$2 \arccos{(0)} = \pi\,$ et $\arcsin{(0)}=0\,$

$0\,$ n'est donc pas solution.

Donc $S = \emptyset\,$ .

[modifier] Exercice 2

Résoudre l'équation :

$\arctan{(x)} + \arctan{(x+1)} = \frac{\pi}{4}\,$

Solution

$D = \mathbb{R}\,$

On remarque que l'on ne peut pas procéder par équivalences.

Conditions nécessaires :

$\arctan{(x)} + \arctan{(x+1)} = \frac{\pi}{4} \Rightarrow \tan{(\arctan{(x)} + \arctan{(x+1)})} = \tan{\left (\frac{\pi}{4} \right )}\,$

$\Rightarrow \frac{x + x + 1}{1 - x(x+1)} = 1\,$

$\Rightarrow 2x + 1 = 1 - x^{2} - x\,$

$\Rightarrow x^{2} + 3x = 0\,$

$\Rightarrow x(x+3)=0\,$

$\Rightarrow x=0\,$ ou $x=-3\,$

Conditions suffisantes :

$\arctan{(0)} + \arctan{(1)} = 0 + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}\,$ et $\arctan{(-3)} + \arctan{(-2)} < 0\,$

$-3\,$ n'est donc pas solution.

Donc $S = \emptyset\,$ .

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[modifier] Résolutions d'équations

[modifier] Exercice 1

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