Trigonométrie/Cosinus et sinus dans le cercle trigonométrique

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Cosinus et sinus dans le cercle trigonométrique
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Chapitre 5
Leçon : Trigonométrie
Chap. préc. : Sinus dans un triangle rectangle
Chap. suiv. : Tangente dans un triangle rectangle


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Trigonométrie/Cosinus et sinus dans le cercle trigonométrique
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Sommaire

[modifier] Cosinus d'un angle orienté

Définitions

Soient M un point du cercle trigonométrique et \alpha\, l'angle associé à l'arc \scriptstyle \overset{\scriptstyle \curvearrowright}{IM}.

  • Le cosinus de α est l'abscisse, sur l'axe des abscisses du projeté orthogonal de M sur ce même axe.
Circle cos2.svg

On le note \cos(\alpha)\,.

[modifier] Valeurs remarquables de cosinus

Par lecture sur le cercle trigonométrique, nous trouvons aisément :

\displaystyle\cos 0 = 1, et \cos \frac{\pi}{2} = 0.

Nous déterminerons en annexe les autres valeurs remarquables du tableau ci-dessous.

α \scriptstyle 0 \textstyle\frac{\pi}{6} \textstyle\frac{\pi}{4} \textstyle\frac{\pi}{3} \textstyle\frac{\pi}{2} \textstyle\frac{2\pi}{3} \textstyle\frac{3\pi}{4} \textstyle\frac{5\pi}{6} \scriptstyle\pi
cos α \scriptstyle 1 \textstyle\frac{\sqrt{3}}{2} \textstyle\frac{\sqrt{2}}{2} \textstyle\frac{1}{2} \scriptstyle 0 \scriptstyle -\textstyle\frac{1}{2} \scriptstyle -\textstyle\frac{\sqrt{2}}{2} \scriptstyle -\textstyle\frac{\sqrt{3}}{2} \scriptstyle -1
α \scriptstyle 0 \scriptstyle -\textstyle\frac{\pi}{6} \scriptstyle -\textstyle\frac{\pi}{4} \scriptstyle -\textstyle\frac{\pi}{3} \scriptstyle -\textstyle\frac{\pi}{2} \scriptstyle -\textstyle\frac{2\pi}{3} \scriptstyle -\textstyle\frac{3\pi}{4} \scriptstyle -\textstyle\frac{5\pi}{6} \scriptstyle -\pi
cos α \scriptstyle 1 \textstyle\frac{\sqrt{3}}{2} \textstyle\frac{\sqrt{2}}{2} \textstyle\frac{1}{2} \scriptstyle 0 \scriptstyle -\textstyle\frac{1}{2} \scriptstyle -\textstyle\frac{\sqrt{2}}{2} \scriptstyle -\textstyle\frac{\sqrt{3}}{2} \scriptstyle -1

[modifier] Sinus d'un angle orienté

Définitions

Soient M un point du cercle trigonométrique et α l'angle associé à l'arc \scriptstyle \overset{\scriptstyle \curvearrowright}{IM}.

Sine triangle circle.svg
  • Le sinus de α est l'abscisse, sur l'axe des ordonnées du projeté orthogonal de M sur ce même axe.

On le note \sin(\alpha)\,.

[modifier] Valeurs remarquables du sinus

Nous déterminerons en annexe les autres valeurs remarquables du tableau ci-dessous.

α \scriptstyle 0 \textstyle\frac{\pi}{6} \textstyle\frac{\pi}{4} \textstyle\frac{\pi}{3} \textstyle\frac{\pi}{2} \textstyle\frac{2\pi}{3} \textstyle\frac{3\pi}{4} \textstyle\frac{5\pi}{6} \scriptstyle\pi
sin α \scriptstyle 0 \textstyle\frac{1}{2} \textstyle\frac{\sqrt{2}}{2} \textstyle\frac{\sqrt{3}}{2} \scriptstyle 1 \textstyle\frac{\sqrt{3}}{2} \textstyle\frac{\sqrt{2}}{2} \textstyle\frac{1}{2} \scriptstyle 0
α \scriptstyle 0 \scriptstyle -\textstyle\frac{\pi}{6} \scriptstyle -\textstyle\frac{\pi}{4} \scriptstyle -\textstyle\frac{\pi}{3} \scriptstyle -\textstyle\frac{\pi}{2} \scriptstyle -\textstyle\frac{2\pi}{3} \scriptstyle -\textstyle\frac{3\pi}{4} \scriptstyle -\textstyle\frac{5\pi}{6} \scriptstyle -\pi
sin α \scriptstyle 0 \scriptstyle -\textstyle\frac{1}{2} \scriptstyle -\textstyle\frac{\sqrt{2}}{2} \scriptstyle -\textstyle\frac{\sqrt{3}}{2} \scriptstyle -1 \scriptstyle -\textstyle\frac{\sqrt{3}}{2} \scriptstyle -\textstyle\frac{\sqrt{2}}{2} \scriptstyle -\textstyle\frac{1}{2} \scriptstyle 0

[modifier] Résumé sur le cercle

Unit circle angles.svg
Crystal Clear action back.png Sinus dans un triangle rectangle