Trigonométrie/Cosinus et sinus dans le cercle trigonométrique

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Cosinus et sinus dans le cercle trigonométrique

Chapitre no5
Leçon : Trigonométrie
Chap. préc. :	Sinus dans un triangle rectangle
Chap. suiv. :	Tangente dans un triangle rectangle

   

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Cosinus d'un angle orienté

Début d'une définition

Définitions

Soient $M$ un point du cercle trigonométrique et $\alpha\,$ l'angle associé à l'arc $\scriptstyle \overset{\scriptstyle \curvearrowright}{IM}$.

• Le cosinus de $\alpha$ est l'abscisse (sur l'axe horizontal) du projeté orthogonal de $M$ sur ce même axe.

On le note $\cos(\alpha)\,$.

Fin de la définition

Valeurs remarquables de cosinus

Par lecture sur le cercle trigonométrique, nous trouvons aisément :

$\displaystyle\cos 0 = 1,$ et $\cos \frac{\pi}{2} = 0.$

Nous déterminerons en annexe les autres valeurs remarquables du tableau ci-dessous.

α	$\scriptstyle 0$	$\textstyle\frac{\pi}{6}$	$\textstyle\frac{\pi}{4}$	$\textstyle\frac{\pi}{3}$	$\textstyle\frac{\pi}{2}$	$\textstyle\frac{2\pi}{3}$	$\textstyle\frac{3\pi}{4}$	$\textstyle\frac{5\pi}{6}$	$\scriptstyle\pi$
cos α	$\scriptstyle 1$	$\textstyle\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\textstyle\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\textstyle\frac{1}{2}$	$\scriptstyle 0$	$\scriptstyle -\textstyle\frac{1}{2}$	$\scriptstyle -\textstyle\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\scriptstyle -\textstyle\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\scriptstyle -1$
α	$\scriptstyle 0$	$\scriptstyle -\textstyle\frac{\pi}{6}$	$\scriptstyle -\textstyle\frac{\pi}{4}$	$\scriptstyle -\textstyle\frac{\pi}{3}$	$\scriptstyle -\textstyle\frac{\pi}{2}$	$\scriptstyle -\textstyle\frac{2\pi}{3}$	$\scriptstyle -\textstyle\frac{3\pi}{4}$	$\scriptstyle -\textstyle\frac{5\pi}{6}$	$\scriptstyle -\pi$
cos α	$\scriptstyle 1$	$\textstyle\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\textstyle\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\textstyle\frac{1}{2}$	$\scriptstyle 0$	$\scriptstyle -\textstyle\frac{1}{2}$	$\scriptstyle -\textstyle\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\scriptstyle -\textstyle\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\scriptstyle -1$

Sinus d'un angle orienté

Début d'une définition

Définitions

Soient $M$ un point du cercle trigonométrique et $\alpha$ l'angle associé à l'arc $\scriptstyle \overset{\scriptstyle \curvearrowright}{IM}$.

• Le sinus de $\alpha$ est l'ordonnée (sur l'axe vertical) du projeté orthogonal de $M$ sur ce même axe.

On le note $\sin(\alpha)\,$.

Fin de la définition

Valeurs remarquables du sinus

Nous déterminerons en annexe les autres valeurs remarquables du tableau ci-dessous.

α	$\scriptstyle 0$	$\textstyle\frac{\pi}{6}$	$\textstyle\frac{\pi}{4}$	$\textstyle\frac{\pi}{3}$	$\textstyle\frac{\pi}{2}$	$\textstyle\frac{2\pi}{3}$	$\textstyle\frac{3\pi}{4}$	$\textstyle\frac{5\pi}{6}$	$\scriptstyle\pi$
sin α	$\scriptstyle 0$	$\textstyle\frac{1}{2}$	$\textstyle\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\textstyle\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\scriptstyle 1$	$\textstyle\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\textstyle\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\textstyle\frac{1}{2}$	$\scriptstyle 0$
α	$\scriptstyle 0$	$\scriptstyle -\textstyle\frac{\pi}{6}$	$\scriptstyle -\textstyle\frac{\pi}{4}$	$\scriptstyle -\textstyle\frac{\pi}{3}$	$\scriptstyle -\textstyle\frac{\pi}{2}$	$\scriptstyle -\textstyle\frac{2\pi}{3}$	$\scriptstyle -\textstyle\frac{3\pi}{4}$	$\scriptstyle -\textstyle\frac{5\pi}{6}$	$\scriptstyle -\pi$
sin α	$\scriptstyle 0$	$\scriptstyle -\textstyle\frac{1}{2}$	$\scriptstyle -\textstyle\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\scriptstyle -\textstyle\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\scriptstyle -1$	$\scriptstyle -\textstyle\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\scriptstyle -\textstyle\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\scriptstyle -\textstyle\frac{1}{2}$	$\scriptstyle 0$

Résumé sur le cercle

Trigonométrie

Sinus dans un triangle rectangle

Tangente dans un triangle rectangle