Triangle rectangle/Trigonométrie

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Trigonométrie
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Chapitre no5
Leçon : Triangle rectangle
Chap. préc. : Cosinus
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Sommaire

À quoi sert la trigonométrie ?[modifier | modifier le wikitexte]

La trigonométrie sert à calculer, dans un triangle, des longueurs et des angles à partir d'autres longueurs et d'autres angles. En troisième, on fait de la trigonométrie dans les triangles rectangles.

Cosinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle[modifier | modifier le wikitexte]

Cosinus et calculatrice[modifier | modifier le wikitexte]

Calcul d'un cosinus à la calculatrice[modifier | modifier le wikitexte]

Connaissant un angle, on peut calculer son cosinus avec une calculatrice scientifique.

Sur une calculatrice de type "collège" habituelle, on tape pour calculer :

\cos{45^\circ}

la séquence de touches :

Touche 1 Touche 2 Touche 3 Touche 4
cos 4 5 EXE


Sur une calculatrice à calcul immédiat, on tape la séquence de touches

Touche 1 Touche 2 Touche 3
4 5 cos

Il est important que votre calculatrice soit en mode "degrés", ce qui est signalé sur l'écran par un "D" ou "Deg". Dans ce cas, le résultat du calcul est :

\cos{45}\approx 0,707

Si vous obtenez 0,525 ou 0,760, votre calculatrice n'est pas en mode "degré" et il faut l'y mettre !

Calcul d'un angle à partir de son cosinus[modifier | modifier le wikitexte]

Sur une calculatrice de type "collège" habituelle, on tape pour calculer :

\cos{(?)}= 0,5\,

la séquence de touches :

Touche 1 Touche 2 Touche 3 Touche 4 Touche 5
2nd ou shift cos 0 \cdot\, 5 EXE

Sur une calculatrice à calcul immédiat, on tape pour calculer :


\cos{(?)}= 0,5\,

la séquence de touches :

Touche 1 Touche 2 Touche 3 Touche 4 Touche 5
0 \cdot 5 2nd ou shift cos

Il est important que votre calculatrice soit en mode "degrés", ce qui est signalé sur l'écran par un "D" ou "Deg". Dans ce cas, le résultat du calcul est :

cos^{-1}(0,5)=60^\circ \,

Formule du cosinus[modifier | modifier le wikitexte]

Dans un triangle ABC rectangle en B, le cosinus de l'angle \scriptstyle{\hat{A}} vaut :

\cos{\hat{A}}=\frac{AB}{AC}={c\hat{o}t\acute{e}\ adjacent\over hypot\acute{e}nuse}
Cosinus de A.svg

Exemple 1 : Calcul d'un angle à partir du côté adjacent et de l'hypoténuse[modifier | modifier le wikitexte]

Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a en plus : AB = cm et AC = cm. Calculer \hat{A}

Remarques :

  1. Pour avoir une précision au degré près pour l'angle, il est conseillé de garder au moins trois décimales pour le cosinus.
  2. La notation cos^{-1} est mauvaise mais nous la gardons car elle apparaît sur les calculatrice du collège. Elle prête à confusion avec l'inverse : \frac{1}{cos}. Il ne s'agit pas du tout de la même chose. En mathématiques on utilise plutôt la notation \operatorname{Arccos}.

Exemple 2 : Calcul du côté adjacent à partir de l'angle et de l'hypoténuse[modifier | modifier le wikitexte]

Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a en plus : \scriptstyle{\hat{A} = 40^\circ } et AC = 7 cm. Calculer AB

Exemple 3 : Calcul de l'hypoténuse à partir de l'angle et du côté adjacent[modifier | modifier le wikitexte]

Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a en plus : \scriptstyle{\hat{A} = 40^\circ } et AB = 5 cm. Calculer AC

Sinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle[modifier | modifier le wikitexte]

Sinus et calculatrice[modifier | modifier le wikitexte]

Calcul d'un sinus à la calculatrice[modifier | modifier le wikitexte]

Connaissant un angle, on peut calculer son sinus avec une calculatrice scientifique.

Sur une calculatrice de type "collège" habituelle, on tape pour calculer :

\sin{45^\circ}

la séquence de touches :

Touche 1 Touche 2 Touche 3 Touche 4
sin 4 5 EXE


Sur une calculatrice à calcul immédiat, on tape la séquence de touches

Touche 1 Touche 2 Touche 3
4 5 sin

Il est important que votre calculatrice soit en mode "degrés", ce qui est signalé sur l'écran par un "D" ou "Deg". Dans ce cas, le résultat du calcul est :

\sin{45}\approx 0,707

Si vous obtenez 0,850 ou 0,649, votre calculatrice n'est pas en mode "degré" et il faut l'y mettre !

Calcul d'un angle à partir de son sinus[modifier | modifier le wikitexte]

Sur une calculatrice de type "collège" habituelle, on tape pour calculer :

\sin{(?)}= 0,5\,

la séquence de touches :

Touche 1 Touche 2 Touche 3 Touche 4 Touche 5
2nd ou shift sin 0 \cdot\, 5 EXE

Sur une calculatrice à calcul immédiat, on tape pour calculer :


\sin{(?)}= 0,5\,

la séquence de touches :

Touche 1 Touche 2 Touche 3 Touche 4 Touche 5
0 \cdot 5 2nd ou shift sin

Il est important que votre calculatrice soit en mode "degrés", ce qui est signalé sur l'écran par un "D" ou "Deg". Dans ce cas, le résultat du calcul est :

sin^{-1}(0,5)=30^\circ \,

Faites des exercices pour calculer des sinus et des angles à la calculatrice[modifier | modifier le wikitexte]

Formule du sinus[modifier | modifier le wikitexte]

Dans un triangle ABC rectangle en B, le sinus de l'angle \scriptstyle{\hat{A}} vaut :

\sin{\hat{A}}=\frac{BC}{AC}={c\hat{o}t\acute{e}\ oppos\acute{e}\over hypot\acute{e}nuse}
Sinus de A.svg

Exemple 1 : Calcul d'un angle à partir du côté opposé et de l'hypoténuse[modifier | modifier le wikitexte]

Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a en plus : BC = cm et AC = cm. Calculer \hat{A}

Remarques :

  1. Pour avoir une précision au degré près pour l'angle, il est conseillé de garder au moins trois décimales pour le sinus.
  2. La notation sin^{-1} est mauvaise mais nous la gardons car elle apparaît sur les calculatrice du collège. Elle prête à confusion avec l'inverse : \frac{1}{sin}. Il ne s'agit pas du tout de la même chose. En mathématiques on utilise plutôt la notation \scriptstyle{\operatorname{Arcsin}}.

Exemple 2 : Calcul du côté opposé à partir de l'angle et de l'hypoténuse[modifier | modifier le wikitexte]

Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a en plus : \scriptstyle{\hat{A} = 40^\circ } et AC = 7 cm. Calculer BC

Exemple 3 : Calcul de l'hypoténuse à partir de l'angle et du côté opposé[modifier | modifier le wikitexte]

Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a : \scriptstyle{\hat{A} = 40^\circ } et BC = 4 cm. Calculer AC

Tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle[modifier | modifier le wikitexte]

Tangente et calculatrice[modifier | modifier le wikitexte]

Calcul d'une tangente à la calculatrice[modifier | modifier le wikitexte]

Connaissant un angle, on peut calculer sa tangente avec une calculatrice scientifique.

Sur une calculatrice de type "collège" habituelle, on tape pour calculer :

\tan{45^\circ}

la séquence de touches :

Touche 1 Touche 2 Touche 3 Touche 4
tan 4 5 EXE


Sur une calculatrice à calcul immédiat, on tape la séquence de touches

Touche 1 Touche 2 Touche 3
4 5 tan

Il est important que votre calculatrice soit en mode " degrés ", ce qui est signalé sur l'écran par un "D" ou "Deg". Dans ce cas, le résultat du calcul est :

\tan{45} = 1

Si vous obtenez 1,619850 ou 0,854, votre calculatrice n'est pas en mode "degré" et il faut l'y mettre !

Calcul d'un angle à partir de sa tangente[modifier | modifier le wikitexte]

Sur une calculatrice de type "collège" habituelle, on tape pour calculer :

\tan{(?)}= 0,5\,

la séquence de touches :

Touche 1 Touche 2 Touche 3 Touche 4 Touche 5
2nd ou shift tan 0 \cdot\, 5 EXE

Sur une calculatrice à calcul immédiat, on tape pour calculer :


\tan{(?)}= 0,5\,

la séquence de touches :

Touche 1 Touche 2 Touche 3 Touche 4 Touche 5
0 \cdot 5 2nd ou shift tan

Il est important que votre calculatrice soit en mode "degrés", ce qui est signalé sur l'écran par un "D" ou "Deg". Dans ce cas, le résultat du calcul est :

tan^{-1}(0,5)\approx 27^\circ \,

Formule de la tangente[modifier | modifier le wikitexte]

Dans un triangle ABC rectangle en B, la tangente de l'angle \scriptstyle{\hat{A}} vaut :

\tan{\hat{A}}=\frac{BC}{AB}={c\hat{o}t\acute{e}\ oppos\acute{e}\over c\hat{o}t\acute{e}\ adjacent}
Tangente de A.svg

Exemple 1 : Calcul d'un angle à partir du côté opposé et de son côté adjacent[modifier | modifier le wikitexte]

Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a en plus : BC = cm et AB = cm. Calculer \hat{A}

Remarques :

  1. Pour avoir une précision au degré près pour l'angle, il est conseillé de garder au moins trois décimales pour la tangente.
  2. La notation tan^{-1} est mauvaise mais nous la gardons car elle apparaît sur les calculatrice du collège. Elle prête à confusion avec l'inverse : \frac{1}{tan}. Il ne s'agit pas du tout de la même chose. En mathématiques on utilise plutôt la notation \scriptstyle{\operatorname{Arctan}}.

Exemple 2 : Calcul du côté opposé à partir de l'angle et du côté adjacent[modifier | modifier le wikitexte]

Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a en plus : \scriptstyle{\hat{A} = 40^\circ } et AB =5 cm. Calculer BC

Exemple 3 : Calcul du côté adjacent à partir de l'angle et du côté opposé[modifier | modifier le wikitexte]

Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a : \scriptstyle{\hat{A} = 35^\circ } et BC = 12
 cm. Calculer AB

Relations trigonométriques[modifier | modifier le wikitexte]

Ce sont des égalités qui relient les fonctions trigonométriques cosinus, sinus et tangente entre elles.

La tangente comme quotient[modifier | modifier le wikitexte]

On a pour toute mesure x d'un angle : \tan{x}=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}

Exemple : Calcul de la tangente à partir du cosinus et du sinus[modifier | modifier le wikitexte]

Sachant que \scriptstyle{\cos{\hat{A}} = 0,5} et \scriptstyle{\sin{\hat{A}}\approx 0,866}, calculer une valeur approchée de \tan{x}

Formule liant cosinus et sinus[modifier | modifier le wikitexte]

On a pour toute mesure x d'un angle : (\cos{x})^2 + (\sin{x})^2 = 1\,

Exemple: Calcul du sinus à partir du cosinus[modifier | modifier le wikitexte]

Sachant que \scriptstyle{\cos{\hat{A}} = 0,5}, calculer une valeur exacte de \sin{x}

Astuce mnémotechnique[modifier | modifier le wikitexte]

Un moyen simple pour se souvenir des formules de calcul des sinus, cosinus et tangente d'un angle dans un triangle rectangle est de retenir la phrase "SOH-CAH-TOA" qui nous donne (avec les initiales des mots) :

  • Sin = Opposé/Hypoténuse, SOH
  • Cos = Adjacent/Hypoténuse, CAH
  • Tan = Opposé/Adjacent, TOA

Une seconde phrase, souvent plus appréciée par les élèves peut également être retenue : il s'agit de "CAH-SOH-TOA" qui se rapproche de "Casse-toi", toujours avec le même principe des initiales.

Un deuxième moyen et à apprendre sous forme de comptines :

TanOppAdj ce qui veut dire : Tangente du côté Opposé sur côté Adjacent CosAdjHyp ce qui veut dire : Cosinus du côté Adjacent sur Hypoténuse SinOppHyp ce qui veut dire : Sinus de Opposé sur Hypoténuse




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