Triangle rectangle/Trigonométrie

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**Trigonométrie**
Leçon : Triangle rectangle

Chapitre 4
Chap. préc. :	Cosinus

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Triangle rectangle : Trigonométrie
Triangle rectangle/Trigonométrie », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

1 A quoi sert la trigonométrie ?
2 Cosinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle
- 2.1 Cosinus et calculatrice
  - 2.1.1 Calcul d'un cosinus à la calculatrice
  - 2.1.2 Calcul d'un angle à partir de son cosinus
- 2.2 Formule du cosinus
3 Sinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle
- 3.1 Sinus et calculatrice
- 3.2 Formule du sinus
4 Tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle
- 4.1 Tangente et calculatrice
  - 4.1.1 Calcul d'une tangente à la calculatrice
  - 4.1.2 Calcul d'un angle à partir de sa tangente
- 4.2 Formule de la tangente
5 Relations trigonométriques
- 5.1 La tangente comme quotient
  - 5.1.1 Exemple : Calcul de la tangente à partir du cosinus et du sinus
- 5.2 Formule liant cosinus et sinus
  - 5.2.1 Exemple: Calcul du sinus à partir du cosinus
6 Astuce mémotechnique

[modifier] A quoi sert la trigonométrie ?

La trigonométrie sert à calculer, dans un triangle, des longueurs et des angles à partir d'autres longueurs et d'autres angles. En troisième, on fait de la trigonométrie dans les triangles rectangles.

[modifier] Cosinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle

[modifier] Cosinus et calculatrice

[modifier] Calcul d'un cosinus à la calculatrice

Connaissant un angle, on peut calculer son cosinus avec une calculatrice scientifique.

Sur une calculatrice de type "collège" habituelle, on tape pour calculer :

$\cos{45^\circ}$

la séquence de touches :

Touche 1	Touche 2	Touche 3	Touche 4
cos	4	5	EXE

Sur une calculatrice à calcul immédiat, on tape la séquence de touches

Touche 1	Touche 2	Touche 3
4	5	cos

Il est important que votre calculatrice soit en mode "degrés", ce qui est signalé sur l'écran par un "D" ou "Deg". Dans ce cas, le résultat du calcul est :

$\cos{45}\approx 0,707$

Si vous obtenez 0,525 ou 0,760, votre calculatrice n'est pas en mode "degré" et il faut l'y mettre !

[modifier] Calcul d'un angle à partir de son cosinus

Sur une calculatrice de type "collège" habituelle, on tape pour calculer :

$\cos{(?)}= 0,5\,$

la séquence de touches :

Touche 1	Touche 2	Touche 3	Touche 4	Touche 5
2nd ou shift	cos	0	$\cdot\,$	5	EXE

Sur une calculatrice à calcul immédiat, on tape pour calculer :

$\cos{(?)}= 0,5\,$

la séquence de touches :

Touche 1	Touche 2	Touche 3	Touche 4	Touche 5
0	$\cdot$	5	2nd ou shift	cos

Il est important que votre calculatrice soit en mode "degrés", ce qui est signalé sur l'écran par un "D" ou "Deg". Dans ce cas, le résultat du calcul est :

$cos^{-1}(0,5)=60^\circ \,$

[modifier] Formule du cosinus

Dans un triangle ABC rectangle en B, le cosinus de l'angle $\scriptstyle{\hat{A}}$ vaut :

$\cos{\hat{A}}=\frac{AB}{AC}={c\hat{o}t\acute{e}\ adjacent\over hypot\acute{e}nuse}$

[modifier] Exemple 1 : Calcul d'un angle à partir du côté adjacent et de l'hypoténuse

Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a en plus : AB = 5 cm et AC = 7 cm. Calculer $\hat{A}$

Solution

On a la formule : $\cos{\hat{A}}=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{7}\approx0,714$

et : $\hat{A} = cos^{-1}(0,714)\approx44^\circ \,$

Remarques :

Pour avoir une précision au degré près pour l'angle, il est conseillé de garder au moins trois décimales pour le cosinus.
La notation $c o s - 1$ est mauvaise mais nous la gardons car elle apparaît sur les calculatrice du collège. Elle prête à confusion avec l'inverse : $\frac{1}{cos}$ . Il ne s'agit pas du tout de la même chose. En mathématiques on utilise plutôt la notation $\operatorname{Arccos}$ .

[modifier] Exemple 2 : Calcul du côté adjacent à partir de l'angle et de l'hypoténuse

Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a en plus : $\scriptstyle{\hat{A} = 40^\circ }$ et $A C = 7 c m$ . Calculer $A B$

Solution

On a la formule :

$\cos{\hat{A}}=\cos{40}=\frac{AB}{AC}=\frac{AB}{7}$

donc :

$AB = 7\times \cos{40} \approx5,4 \ cm \,$

[modifier] Exemple 3 : Calcul de l'hypoténuse à partir de l'angle et du côté adjacent

Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a en plus : $\scriptstyle{\hat{A} = 40^\circ }$ et $A B = 5 c m$ . Calculer $A C$

Solution

On a la formule :

$\cos{\hat{A}}=\cos{40}=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{AC}$

donc : $AC\times \cos{40}=5 \,$

donc : $AC =\frac{5}{\cos{40}} \approx6,5 \ cm \,$

[modifier] Sinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle

[modifier] Sinus et calculatrice

[modifier] Calcul d'un sinus à la calculatrice

Connaissant un angle, on peut calculer son sinus avec une calculatrice scientifique.

Sur une calculatrice de type "collège" habituelle, on tape pour calculer :

$\sin{45^\circ}$

la séquence de touches :

Touche 1	Touche 2	Touche 3	Touche 4
sin	4	5	EXE

Sur une calculatrice à calcul immédiat, on tape la séquence de touches

Touche 1	Touche 2	Touche 3
4	5	sin

Il est important que votre calculatrice soit en mode "degrés", ce qui est signalé sur l'écran par un "D" ou "Deg". Dans ce cas, le résultat du calcul est :

$\sin{45}\approx 0,707$

Si vous obtenez 0,850 ou 0,649, votre calculatrice n'est pas en mode "degré" et il faut l'y mettre !

[modifier] Calcul d'un angle à partir de son sinus

Sur une calculatrice de type "collège" habituelle, on tape pour calculer :

$\sin{(?)}= 0,5\,$

la séquence de touches :

Touche 1	Touche 2	Touche 3	Touche 4	Touche 5
2nd ou shift	sin	0	$\cdot\,$	5	EXE

Sur une calculatrice à calcul immédiat, on tape pour calculer :

$\sin{(?)}= 0,5\,$

la séquence de touches :

Touche 1	Touche 2	Touche 3	Touche 4	Touche 5
0	$\cdot$	5	2nd ou shift	sin

Il est important que votre calculatrice soit en mode "degrés", ce qui est signalé sur l'écran par un "D" ou "Deg". Dans ce cas, le résultat du calcul est :

$sin^{-1}(0,5)=30^\circ \,$

[modifier] Faites des exercices pour calculer des sinus et des angles à la calculatrice

[modifier] Formule du sinus

Dans un triangle ABC rectangle en B, le sinus de l'angle $\scriptstyle{\hat{A}}$ vaut :

$\sin{\hat{A}}=\frac{BC}{AC}={c\hat{o}t\acute{e}\ oppos\acute{e}\over hypot\acute{e}nuse}$

[modifier] Exemple 1 : Calcul d'un angle à partir du côté opposé et de l'hypoténuse

Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a en plus : BC = 4 cm et AC = 7 cm. Calculer $\hat{A}$

Solution

On a la formule : $\sin{\hat{A}}=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{7}\approx0,571$

et : $\hat{A} = sin^{-1}(0,571)\approx35^\circ \,$

Remarques :

Pour avoir une précision au degré près pour l'angle, il est conseillé de garder au moins trois décimales pour le sinus.
La notation $s i n - 1$ est mauvaise mais nous la gardons car elle apparaît sur les calculatrice du collège. Elle prête à confusion avec l'inverse : $\frac{1}{sin}$ . Il ne s'agit pas du tout de la même chose. En mathématiques on utilise plutôt la notation $\scriptstyle{\operatorname{Arcsin}}$ .

[modifier] Exemple 2 : Calcul du côté opposé à partir de l'angle et de l'hypoténuse

Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a en plus : $\scriptstyle{\hat{A} = 40^\circ }$ et $A C = 7 c m$ . Calculer $B C$

Solution

On a la formule :

$\sin{\hat{A}}=\sin{40}=\frac{BC}{AC}=\frac{BC}{7}$

donc :

$BC = 7\times \sin{40} \approx4,5 \ cm \,$

[modifier] Exemple 3 : Calcul de l'hypoténuse à partir de l'angle et du côté opposé

Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a : $\scriptstyle{\hat{A} = 40^\circ }$ et $B C = 4 c m$ . Calculer $A C$

Solution

On a la formule :

$\sin{\hat{A}}=\sin{40}=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{AC}$

donc : $AC\times \sin{40}= 4 \,$

donc : $AC =\frac{4}{\sin{40}} \approx6,2 \ cm \,$

[modifier] Tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle

[modifier] Tangente et calculatrice

[modifier] Calcul d'une tangente à la calculatrice

Connaissant un angle, on peut calculer sa tangente avec une calculatrice scientifique.

Sur une calculatrice de type "collège" habituelle, on tape pour calculer :

$\tan{45^\circ}$

la séquence de touches :

Touche 1	Touche 2	Touche 3	Touche 4
tan	4	5	EXE

Sur une calculatrice à calcul immédiat, on tape la séquence de touches

Touche 1	Touche 2	Touche 3
4	5	tan

Il est important que votre calculatrice soit en mode "degrés", ce qui est signalé sur l'écran par un "D" ou "Deg". Dans ce cas, le résultat du calcul est :

tan45 = 1

Si vous obtenez 1,619850 ou 0,854, votre calculatrice n'est pas en mode "degré" et il faut l'y mettre !

[modifier] Calcul d'un angle à partir de sa tangente

Sur une calculatrice de type "collège" habituelle, on tape pour calculer :

$\tan{(?)}= 0,5\,$

la séquence de touches :

Touche 1	Touche 2	Touche 3	Touche 4	Touche 5
2nd ou shift	tan	0	$\cdot\,$	5	EXE

Sur une calculatrice à calcul immédiat, on tape pour calculer :

$\sin{(?)}= 0,5\,$

la séquence de touches :

Touche 1	Touche 2	Touche 3	Touche 4	Touche 5
0	$\cdot$	5	2nd ou shift	tan

Il est important que votre calculatrice soit en mode "degrés", ce qui est signalé sur l'écran par un "D" ou "Deg". Dans ce cas, le résultat du calcul est :

$tan^{-1}(0,5)\approx 27^\circ \,$

[modifier] Formule de la tangente

Dans un triangle ABC rectangle en B, la tangente de l'angle $\scriptstyle{\hat{A}}$ vaut :

$\tan{\hat{A}}=\frac{BC}{AB}={c\hat{o}t\acute{e}\ oppos\acute{e}\over c\hat{o}t\acute{e}\ adjacent}$

[modifier] Exemple 1 : Calcul d'un angle à partir du côté opposé et de son côté adjacent

Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a en plus : BC = 4 cm et AB = 5 cm. Calculer $\hat{A}$

Solution

On a la formule : $\tan{\hat{A}}=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}=0,800$

et : $\hat{A} = tan^{-1}(0,800)\approx39^\circ \,$

Remarques :

Pour avoir une précision au degré près pour l'angle, il est conseillé de garder au moins trois décimales pour la tangente.
La notation $t a n - 1$ est mauvaise mais nous la gardons car elle apparaît sur les calculatrice du collège. Elle prête à confusion avec l'inverse : $\frac{1}{tan}$ . Il ne s'agit pas du tout de la même chose. En mathématiques on utilise plutôt la notation $\scriptstyle{\operatorname{Arctan}}$ .

[modifier] Exemple 2 : Calcul du côté opposé à partir de l'angle et du côté adjacent

Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a en plus : $\scriptstyle{\hat{A} = 40^\circ }$ et $A B = 5 c m$ . Calculer $B C$

Solution

On a la formule :

$\tan{\hat{A}}=\tan{40}=\frac{BC}{AB}=\frac{BC}{5}$

donc :

$BC = 5\times \tan{40} \approx4,2 \ cm \,$

[modifier] Exemple 3 : Calcul du côté adjacent à partir de l'angle et du côté opposé

Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a : $\scriptstyle{\hat{A} = 40^\circ }$ et $B C = 4 c m$ . Calculer $A B$

Solution

On a la formule :

$\tan{\hat{A}}=\tan{40}=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{AB}$

donc : $AB\times \tan{40}= 4 \,$

donc : $AB =\frac{4}{\tan{40}} \approx4,8 \ cm \,$

[modifier] Relations trigonométriques

Ce sont des égalités qui relient les fonctions trigonométriques cosinus, sinus et tangente entre elles.

[modifier] La tangente comme quotient

On a pour toute mesure x d'un angle : $\tan{x}=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}$

[modifier] Exemple : Calcul de la tangente à partir du cosinus et du sinus

Sachant que $\scriptstyle{\cos{\hat{A}} = 0,5}$ et $\scriptstyle{\sin{\hat{A}}\approx 0,866}$ , calculer une valeur approchée de $tan x$

Solution

On a la formule :

$\tan{\hat{A}}=\frac{\sin{\hat{A}}}{\cos{\hat{A}}} \approx \frac{0,866}{0,5} \approx 1,732$

[modifier] Formule liant cosinus et sinus

On a pour toute mesure x d'un angle : $(\cos{x})^2 + (\sin{x})^2 = 1\,$

[modifier] Exemple: Calcul du sinus à partir du cosinus

Sachant que $\scriptstyle{\cos{\hat{A}} = 0,5}$ , calculer une valeur exacte de $sin x$

Solution

On a la formule : $(\cos{\hat{A}})^2 + (\sin{\hat{A}})^2 = 1$

donc : $(\sin{\hat{A}})^2 =1 - (\cos{\hat{A}})^2= 1- 0,5^2 =1 - 0,25 = 0,75 = \frac{3}{4}$

donc : $\sin{\hat{A}}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ Modèle:CoursMathsCollègeExplication

[modifier] Astuce mémotechnique

Un moyen simple pour se souvenir des formules de calcul des sinus, cosinus et tangente d'un angle dans un triangle rectangle est de retenir la phrase : "SOH-CAH-TOA" qui nous donne :

sin = opposé/hypoténuse
cos = adjacent/hypoténuse
tan = opposé/adjacent

Une seconde phrase, souvent plus apprécié par les élèves peut également être retenue : il s'agit de "CAH-SOH-TOA" qui se rapproche de "Casse-toi".

Un deuxième moyen et à apprendre sous forme de comptines :

TanOppAdj ce qui veut dire : Tangente du côté Opposé sur côté Adjacent CosAdjHyp ce qui veut dire : Cosinus du côté Adjacent sur Hypoténuse SinOppHyp ce qui veut dire : Sinus de Opposé sur Hypoténuse

Triangle rectangle

Cosinus

Triangle rectangle/Trigonométrie

Une page de Wikiversité.

Sommaire

[modifier] A quoi sert la trigonométrie ?

[modifier] Cosinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle

[modifier] Cosinus et calculatrice

[modifier] Calcul d'un cosinus à la calculatrice

[modifier] Calcul d'un angle à partir de son cosinus

[modifier] Formule du cosinus

[modifier] Exemple 1 : Calcul d'un angle à partir du côté adjacent et de l'hypoténuse

[modifier] Exemple 2 : Calcul du côté adjacent à partir de l'angle et de l'hypoténuse

[modifier] Exemple 3 : Calcul de l'hypoténuse à partir de l'angle et du côté adjacent

[modifier] Sinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle

[modifier] Sinus et calculatrice

[modifier] Calcul d'un sinus à la calculatrice

[modifier] Calcul d'un angle à partir de son sinus

[modifier] Faites des exercices pour calculer des sinus et des angles à la calculatrice

[modifier] Formule du sinus

[modifier] Exemple 1 : Calcul d'un angle à partir du côté opposé et de l'hypoténuse

[modifier] Exemple 2 : Calcul du côté opposé à partir de l'angle et de l'hypoténuse

[modifier] Exemple 3 : Calcul de l'hypoténuse à partir de l'angle et du côté opposé

[modifier] Tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle

[modifier] Tangente et calculatrice

[modifier] Calcul d'une tangente à la calculatrice

[modifier] Calcul d'un angle à partir de sa tangente

[modifier] Formule de la tangente

[modifier] Exemple 1 : Calcul d'un angle à partir du côté opposé et de son côté adjacent

[modifier] Exemple 2 : Calcul du côté opposé à partir de l'angle et du côté adjacent

[modifier] Exemple 3 : Calcul du côté adjacent à partir de l'angle et du côté opposé

[modifier] Relations trigonométriques

[modifier] La tangente comme quotient

[modifier] Exemple : Calcul de la tangente à partir du cosinus et du sinus

[modifier] Formule liant cosinus et sinus

[modifier] Exemple: Calcul du sinus à partir du cosinus

[modifier] Astuce mémotechnique

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