Transwiki:Techniques de calcul mental

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Modèle:Pour Wikiversity Le calcul mental est une pratique visant à effectuer des calculs sans l'aide d'aucun support autre que son imagination. Avant d'exposer les différentes techniques de calcul mental, il est essentiel de souligner que ces techniques ne sont pas naturelles et ne transforment pas quelqu'un qui ne sait pas compter en une calculatrice humaine en un clin d'œil ; il faut pour se les approprier s'entraîner, et les pratiquer régulièrement. La pratique de l'abaque, du boulier et plus précisément du boulier japonais, appelé soroban, permet d'augmenter les effets de manière spectaculaire par le biais de l'anzan.

Sommaire

Remarque préalable : mémorisation et conséquence sur la technique[modifier | modifier le wikicode]

Le calcul mental utilise

  • la mémoire à long terme, sollicitée pour fournir un répertoire de résultats de calcul connus, l'exemple le plus typique étant une table de multiplication. Plus ce répertoire est étendu et moins il y a de calcul à faire.
  • la mémoire à court terme, pour stocker les nombres sur lesquels on opère et les résultats intermédiaires. Cette mémoire n'est pas très étendue, elle permet de stocker une courte phrase et quelque nombres seulement, aussi faut-il réduire au minimum les retenues et autres résultats intermédiaires à stocker. De plus, elle est très volatile, on oublie en quelques secondes ce qu'on était en train de calculer, dès qu'on cesse de le faire. Aussi ne faut-il jamais s'arrêter en cours de calcul.

Un entrainement régulier permet d'augmenter la quantité de résultats déjà connus, et de renforcer la mémoire à court terme.

Addition et soustraction[modifier | modifier le wikicode]

Sur les autres projets Wikimedia :

L'addition est associative ( a + (b + c) = (a + b) + c ) et commutative ( a + b = b + a) : on peut donc associer et commuter les termes entre eux:

  • 1 984 + 876 + 328 + 9 139 = (1000 + 900 + 80 + 4) + (700 + 100 + 70 + 6) + (300 + 20 + 8) + (9000 + 100 + 30 + 2 + 7)
  • 1 984 + 876 + 328 + 9 139 = (1000 + 9000) + (900 + 100) + (700 + 300) + (80 + 20) + (70 + 30) + (4 + 6) + (2 + 8) + 100 + 7
  • 1 984 + 876 + 328 + 9 139 = 10 000 + 1 000 + 1 000 + 100 + 100 + 100 + 10 + 10 + 7
  • 1 984 + 876 + 328 + 9 139 = 12 327

Remodeler les entiers pour la soustraction[modifier | modifier le wikicode]

On transforme progressivement les nombres pour "arrondir" le nombre à soustraire et ainsi n'avoir plus que zéro à soustraire, en profitant du fait que

ab = (a + c)(b + c) = (a - d)(b - d) .

Contrairement à l'algorithme usuel, on calcule de préférence des puissances élevées vers les unités (ce n'est pas obligatoire mais c'est plus commode pour la mémoire). Exemple :

1462 - 295

Lorsque le chiffre à soustraire, au cours d'une opération, est plus petit que le chiffre dont on doit le soustraire, on fait la soustraction directement :

1462 - 295 = (1462 - 200) - (295 - 200) = 1262 - 95

Lorsque le chiffre à soustraire est trop grand, on fait une addition, ce qui permet de matérialiser immédiatement la retenue sans avoir à la mémoriser en plus :

1262 - 95 = (1262 + 10) - (95 + 10) = 1272 - 105

Mais parfois il y a encore plus simple, car le but est d'arrondir progressivement le nombre à soustraire

1262 - 95 = (1262 + 5) - (95 + 5) = 1267 - 100
1267 - 100 = 1167

On peut ainsi, de manière générale, utiliser un complément à 10, 100, 1000 du soustracteur (car il est aisé de soustraire 10, 40, 100, 1000, par exemple) en ajoutant le même nombre à chacun des termes de la soustraction :

 872 - 91 = 881 - 100 = 781 (on ajoute ici 9 pour passer de 91 à 100).

Remodeler les entiers pour l'addition[modifier | modifier le wikicode]

Le principe reste le même, il s'agit d'arrondir et d'annuler progressivement la quantité à ajouter, mais cette fois il faut concevoir cela comme un déplacement de petits morceaux de la quantité à ajouter vers le nombre auquel on l'ajoute, ou parfois, pour éviter les retenues, dans l'autre sens.

a + (b + c) = (a + c) + b

ou

(a + c) + b = a + (b + c)

Là encore on calcule de préférence des puissances élevées vers les unités. Exemple :

1462 + 295 = 1462 + 200 + 95 = 1662 + 95
1662 + 95 = 1667 + 90 = 1757

Calcul d'un produit : ab × cd (théorie)[modifier | modifier le wikicode]

multiplier les unités[modifier | modifier le wikicode]

   ab x cd = .....
    |    |
    b x  d = bd

multiplier les dizaines[modifier | modifier le wikicode]

   ab x cd = .....
   |    |
   a  x c  = ac

additionner les produits croisés[modifier | modifier le wikicode]

   ab x cd = .....
   ac   bd
   ad + bc = ef  

Attention à bien faire ad + bc et pas ac + bd ! ceci n'est vrai que dans le cas très particulier ou b=c (33, 22, 55 par exemple)

placer le résultat sous les produits précédents[modifier | modifier le wikicode]

   ab x cd = .....
    ac bd
     e f

tracer des lignes verticales[modifier | modifier le wikicode]

   ab x cd = .....
   a|c b|d
    |e f|

additionner les nombres entre les lignes[modifier | modifier le wikicode]

   ab x cd = .....
   a|c b|d
    |e f|
   -------
   a c b d
     + +
     e f

nous obtenons le résultat[modifier | modifier le wikicode]

   ab x cd = a ( c + e ) ( b + f ) d

Calcul d'un produit : 45 × 34 (exemple)[modifier | modifier le wikicode]

multiplier les unités[modifier | modifier le wikicode]

   45 x 34 = .....
    |    |
    5 x  4 = 20

multiplier les dizaines[modifier | modifier le wikicode]

   45 x 34 = .....
   |    |
   4  x 3  = 12

additionner les produits croisés[modifier | modifier le wikicode]

   45 x 34 = .....
   12   20
   4 5
   3 4 donne (on "croise" 4 avec 4 , 3 avec 5) : 4x4 + 5x3 = 16 + 15 = 31 

(on peut également "retourner" le nombre du haut : faire passer ab en ba, ici 45 en 54, et réitérer la méthode du début en n'oubliant pas d'additionner. C'est bien de axd + cxb dont il s'agit)

placer le résultat sous les produits précédents[modifier | modifier le wikicode]

   45 x 34 = .....
    12 20
     3 1

tracer des lignes verticales[modifier | modifier le wikicode]

   45 x 34 = .....
   1|2 2|0
    |3 1|

additionner les nombres entre les lignes[modifier | modifier le wikicode]

   45 x 34 = .....
   1|2 2|0
    |3 1|
   -------
   1 2 2 0 
     + +
     3 1

nous obtenons le résultat[modifier | modifier le wikicode]

   45 x 34 = .....
   1|2 2|0
    |3 1|
   -------
   1 2 2 0
     + +
     3 1
   -------
   1 5 3 0 

On prendra soin de vérifier à la calculatrice le résultat, au moins jusqu'à ce que la méthode soit acquise.

Calcul d'un produit : a × b[modifier | modifier le wikicode]

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Multiplier par 10[modifier | modifier le wikicode]

Une multiplication par 10 consiste uniquement à rajouter un 0 à droite du nombre ; c'est donc une opération très élémentaire (s'il s'agit d'un nombre décimal, on décale la virgule d'une position vers la droite).

Multiplier par 2[modifier | modifier le wikicode]

C'est un cas particulier de multiplication, où l'on peut travailler chiffre à chiffre : si retenue il y a, c'est forcément 1, elle n'impacte que le dernier chiffre trouvé et il n'y a que peu de risque de retenu en cascade car cela voudrait dire qu'on est parti d'un nombre rempli de 9. On calcule de gauche à droite, en commençant par les chiffres représentant les puissances élevées, et en incorporant progressivement les retenues si elles apparaissent

2 × 16817 =
16817,
26817 (multiplication du 1, pas de retenue, je pose 2)
32817 (multiplication du 6, =12, une retenue : le 2 devient 3, je pose le 2 de 12 ce qui donne 32)
33617 (multiplication du 8, =16, une retenue : le 32 devient 33, je pose le 6 de 16 ce qui donne 336)
33627 (multiplication du 1,=2 pas de retenue, 3362)
33634 multiplication du 7, =14, une retenue : le 3362 devient 3363, je pose le 4 de 14, c'est fini)

Multiplication par 5[modifier | modifier le wikicode]

Il s'agit d'une multiplication par 10 suivie d'une division par 2 ; donc pour multiplier par 5, il suffit de savoir diviser par 2.

Diviser par 2[modifier | modifier le wikicode]

Il faut lire le nombre de gauche à droite, et diviser les chiffres par 2 arrondi à l'entier inférieur puis ajouter 5 au résultat de la division par 2 du chiffre suivant si le chiffre qu'on a divisé était impair. Par exemple

176 × 5 = 1760 ÷ 2,
1 divisé par 2 = 0 mais comme 1 est impair on ajoute 5 au résultat suivant
7 divisé par 2 = 3.5 on garde 3 et on ajoute 5 de l'opération précédente donc 3+5 = 8
6 divisé par 2 = 3 et on ajoute 5 de l'opération précédente car 7 est impair donc 3+5 = 8
0 divisé par 2 = 0

le résultat est 0880 soit 176x5 = 880

Multiplication par 9[modifier | modifier le wikicode]

Il suffit de remarquer que 9 = 10 – 1, donc pour multiplier par 9, il suffit de multiplier le nombre par 10, et de le soustraire au résultat ; par exemple, 9 × 27 = 270 – 27 = 243. Il faut donc savoir soustraire…

Autre technique : avec les doigts de la main. On place ses deux mains face à soi et on replie le doigt que l'on veut multiplier par 9.

exemple : 9 x 4; on replie le 4e doigt en partant de gauche. il reste 3 doigts à gauche et 6 à droite

9 x 4 = 36
9 x 7 ; on plie le 7e doigt et on a 6 et 3
9 x 7 = 63

Multiplication : {6 – 10} × {6 – 10}[modifier | modifier le wikicode]

Cette technique permet de multiplier un nombre entre 6 et 10 par un autre entre 6 et 10.

Cette technique utilise les dix doigts des deux mains, face à face :

-10-- -10--
--9-- --9--
--8-- --8--
--7-- --7--
--6-- --6--

Deux exemples :

  • 9 × 6
haut :
      -10--
      --9--
      --8--
-10-- --7--
bas :
--9-- --6--
--8-- 
--7-- 
--6--  

Les dizaines (on compte les doigts du bas, soit 4 + 1 = 5 dizaines) :

--9-- --6--
--8-- 
--7-- 
--6--  

Les unités (on multiplie le nombre de doigts en haut à gauche par ceux en haut à droite, soit 1 x 4 = 4 unités) :

      -10--
      --9--
      --8--
-10-- --7--

résultat : 9 × 6 = 50 + 1 x 4 = 54


  • 6 × 8
haut :
-10--
--9-- 
--8-- -10--
--7-- --9--
bas :
--6-- --8--
      --7--
      --6--

Les dizaines (on compte les doigts du bas, soit 1 + 3 = 4 dizaines) :

--6-- --8--
      --7--
      --6--

Les unités (on multiplie le nombre de doigts du haut à gauche par ceux en haut à droite, 4 x 2 = 8 unités) :

-10--
--9-- 
--8-- -10--
--7-- --9--

résultat : 6 × 8 = 40 + 4 x 2 = 48


  • X × Y
-10-- -10--
--9-- --9--
--8-- --8--
--7-- --7--
--6-- --6--

Le fonctionnement : chaque doigt représente un chiffre (entre 6 et 10). On joint les deux doigts dont on veut multiplier les chiffres correspondants (x et y). Les doigts en bas indiquent les dizaines, on en a (x – 5) + (y – 5). Les doigts à gauche en haut indiquent (10 – x) et ceux à droite en haut (10 – x).

Et :
  [(x – 5) + (y – 5)] × 10 + (10 – x) × (10 – y)
= (x + y - 10) × 10 + (100 - 10y - 10x + x × y) 
= 10x + 10y - 100 + 100 - 10y - 10x + x × y
= x × y

Calcul du carré d'un entier ayant « 5 » comme chiffre des unités[modifier | modifier le wikicode]

Pour calculer un tel carré, il suffit de calculer le produit du nombre qu'on forme en effaçant ce chiffre « 5 » par le nombre entier suivant et de faire suivre l'écriture obtenue des deux chiffres « 25 ». Par exemple pour calculer 85², on calcule le produit 8 × 9 = 72 et on trouve ainsi que 85² = 7 225.

Calcul du produit de deux entiers dans la même dizaine et dont les chiffres des unités se complètent[modifier | modifier le wikicode]

Commencer par multiplier les deux chiffres des unités entre eux puis faire précéder l'écriture obtenue, au niveau des centaines, par l'écriture du produit de ce nombre commun de dizaines par le nombre entier suivant.

Exemples :

  • Pour calculer 57 × 53, on calcule 7 × 3 = 21 et 5 × 6 = 30. On trouve alors 57 × 53 = 3 021.
  • Pour calculer 71 × 79, on calcule 1 × 9 = 9 et 7 × 8 = 56. On trouve alors 71 × 79 = 5 609.

erreur contre exemple 44*47 selon la méthode 4*7 = 28 4*5 = 20 le résultat devrait donc être 2028 or il est de 2068 (ceci n'est qu'un exemple parmi tant d'autres)

Cette technique est une généralisation de la technique Calcul du carré d'un entier ayant « 5 » comme chiffre des unités. Sa validité provient du calcul suivant, où a désigne le nombre entier commun de dizaines et b l'une des deux unités complémentaires :

(10a+b)(10a+(10-b))=100a^2+10a(b+10-b)+b(10-b)=100a(a+1)+b(10-b)

Calcul du produit de deux entiers dans la même dizaine[modifier | modifier le wikicode]

Pour cela il suffit de prendre le 1er nombre et d'y ajouter le chiffre des unités de l'autre puis de multiplier le résultat par les dizaines du 2nd nombre puis d'additionner à ce résultat la multiplication des unités des deux nombres.

Exemples :

  • Pour calculer 33 × 32, on calcule 33+2 = 35 puis 35 × 30 = 1050 (passer par 35 × 3 × 10) et on ajoute 3 × 2 soit 1050+6 = 1056
  • Pour calculer 47 × 44, on calcule 47+4 = 51 puis 51 × 4 × 10 = 2040

et on ajoute 7 × 4 = 28 soit 2040+28 = 2068

Multiplication d'un nombre par 11[modifier | modifier le wikicode]

Multiplication d'un nombre à deux chiffres par 11[modifier | modifier le wikicode]

Une astuce consiste à faire la somme du premier chiffre avec le second, puis de l'ajouter entre les deux

Si la somme est inférieure à 10.

Exemples :

17 × 11 = 1 (1+7) 7 = 187

35 × 11 = 3 (3+5) 5 = 385


Si la somme est supérieure à 10, on place le chiffre des unités de la somme entre les deux chiffres et on ajoute 1 aux centaines.

Exemples :

58 × 11 = 5 (5+8) 8 = 5 (13) 8 = (5+1) 3 8 = 638

93 × 11 = 9 (9+3) 3 = 9 (12) 3 = (9+1) 2 3 = 1023

Multiplication d'un nombre à trois chiffres par 11[modifier | modifier le wikicode]

La technique est à peu près la même que pour les nombres à deux chiffres.

  1. On garde le premier chiffre,
  2. On ajoute juste après la somme des 2 premiers chiffres qui doit être inférieure à 10,
  3. On ajoute la somme des 2 derniers chiffres qui doit être inférieure à 10,
  4. On ajoute enfin le dernier chiffre.

Ainsi on a 123 x 11 = 1353, avec le premier chiffre 1, suivi de 3 (1+2 =3), puis 5 (2+3=5), puis le dernier chiffre 3.

Deuxième technique avec toujours le nombre 123:

1)On conserve toujours le premier chiffre et le dernier chiffre (c'est-à-dire le 1 et le 3) du nombre 123 qui maintiendrons leur place initiale pour le résultat final.

2)On garde les deux premiers chiffres (12)du nombre 123 et les deux derniers chiffres (23) du nombre 123 pour les additionner: 12+23=35

3)Résultat final donne le 1 3 et on ajoute au milieu la somme qu'on a trouvé ci dessus(35)cela donne 1353 donc 123 x 11 = 1353

Remarquons que cet exemple ne diffère pas trop du premier, l'addition chiffre à chiffre étant simplement transformée en addition de nombres à deux chiffres.

Si une des deux additions donne un résultat supérieur à 10, il est plus facile de commencer à l'envers :

  1. On garde le dernier chiffre,
  2. On ajoute juste avant la somme des 2 derniers chiffres,
  3. On ajoute aussi avant la somme des 2 premiers chiffres incrémentée de 1 si l'opération 2 a donné un résultat supérieur à 10.
  4. On ajoute enfin le premier chiffre incrémenté de 1 si l'opération 3 a donné un résultat supérieur à 10.

Modulo 11 d'un nombre à 3 chiffres[modifier | modifier le wikicode]

Voici une technique pour calculer le modulo 11 d'un nombre à trois chiffres:

  1. On additionne le premier et le dernier chiffre,
  2. On soustrait le chiffre central du résultat de l'opération précédente,
  3. Si le résultat de la soustraction est positif, on a le modulo, s'il est négatif, on lui ajoute 11 pour avoir le modulo.

Exemples:

  • 652 modulo 11: 6 + 2 - 5 = 3
  • 183 module 11: 1 + 3 - 8 = -4, -4 + 11 = 7

Cas général: Le modulo 11 d'un nombre correspond à la somme alternée des chiffres de ce nombre.

Multiplication de deux nombres entiers compris entre 10 et 19[modifier | modifier le wikicode]

Pour multiplier les deux nombres, la technique est la suivante :

  1. on additionne le premier nombre et les unités du deuxième nombre puis on ajoute un zéro (on multiplie par 10)
  2. on additionne au nombre obtenu le produit des unités des deux nombres

Exemple avec 17 × 18 :

  1. 17 + 8 = 25 , on ajoute 0, ce qui donne 250
  2. 7 × 8 = 56 et 250 + 56 = 306, donc 17 × 18 = 306

Exemple avec 14 × 17 :

  1. 14 + 7 = 21, on ajoute 0, ce qui donne 210
  2. 4 × 7 = 28 et 210 + 28 = 238, donc 14 × 17 = 238

Démonstration :

  • soient A et B deux nombres entre 10 et 19
  • on note a et b deux chiffres (entre 0 et 9) tel qu'A = 10 + a et B = 10 + b
  • on cherche le résultat de A × B, qui s'écrit également (10 + a) × (10 + b)
  • en développant, on obtient : 10 × 10 + 10 × a + 10 × b + a × b
  • en factorisant un peu, on obtient 10 × (10 + a + b) + a × b
  • donc 10 × (A + b) + a × b

Méthode du train inverse[modifier | modifier le wikicode]

Soit à multiplier, par exemple, 709801 (multiplicande) par 58 (multiplicateur).

L'étape préliminaire est d'écrire le multiplicateur dans l'ordre inverse, 58 devient 85. 
La méthode consiste ensuite de faire glisser le multiplicateur retourné le long des chiffres du multiplicande, 
comme un train longeant un quai, puis de faire la somme des produits.

Étape 1 
   709801
  85       on calcule 5x7 = 35,        on conserve : 35  <-- ligne d'ordre 'zéro'

Étape 2
   709801
   85      on calcule 8x7 + 5x0 = 56,  on conserve : 356
                                                      5  <-- ligne d'ordre 'un' (retenues des dizaines - 56 est écrit en diagonal)
Étape 3
   709801
    85     on calcule 8x0 + 5x9 = 45,  on conserve : 3565
                                                      54  
Étape 4
   709801
     85    on calcule 8x9 + 5x8 = 112, on conserve : 35652
                                                      541  
                                                       1   <-- ligne d'ordre 'deux' (retenues des centaines - 112 est écrit en diagonal)
Étape 5
   709801
      85   on calcule 8x8 + 5x0 = 64,  on conserve : 356524
                                                      5416  
                                                       1   
Étape 6
   709801
       85  on calcule 8x0 + 5x1 = 5,   on conserve : 3565245
                                                      5416  
                                                       1   
Étape 7
   709801
        85 on calcule 8x1 = 8,         on conserve : 35652458
                                                      5416  
                                                       1   
Dernière étape : on additionne les lignes des retenues ce qui donne :
   35652458
  + 5416  
  +  1   
  =41168458


Remarque : un certain nombre de méthodes particulière de calcul mental s'explique par cette méthode générale (qui n'est qu'une autre façon de poser la multiplication). Par exemple la multiplication par '11' : on remarque immédiatement que la multiplication par '11' s'effectue en conservant le premier et le dernier chiffres et les chiffres intermédiaires sont la somme de deux chiffres successifs.

Une méthode pour le calcul d'un carré[modifier | modifier le wikicode]

L'identités remarquable a² -b² = (a + b)x(a - b) nous permet d'écrire a² = (a + b)x(a - b) + b². Avec cette formule on réduit le calcul du carré à une multiplication simple (par exemple un multiple de 10) et à l'addition d'un carré bien plus petit. Par exemple 89² = (89+11)x(89-11) + 11² = 100 x 78 + 11² = 7800 +121 = 7921, autre exemple : 57²= 50x64 + 49 = 3200 +49 = 3249.

Utiliser les carrés[modifier | modifier le wikicode]

On peut utiliser les carrés des entiers, pour calculer des produits pour les petits nombres ; par exemple, pour calculer 13 × 17, on peut remarquer que l'on est en train de calculer (15 – 2) × (15 + 2), donc 152 – 22, d'après l'une des identités remarquables, c'est-à-dire 225 – 4 = 221, ce qui donne le résultat très rapidement, puisque l'opération devient une simple soustraction.

Cela demande néanmoins de connaître par cœur un certain nombre de carrés :

  • 12 = 1
  • 22 = 4
  • 32 = 9
  • 42 = 16
  • 52 = 25
  • 62 = 36
  • 72 = 49
  • 82 = 64
  • 92 = 81
  • 102 = 100
  • 112 = 121
  • 122 = 144
  • 132 = 169
  • 142 = 196
  • 152 = 225
  • 162 = 256
  • 172 = 289
  • 182 = 324
  • 192 = 361

Il faut néanmoins remarquer que si on ne connaît que certains de ces carrés, les identités remarquables permettent de calculer les autres facilement…

Remodeler les entiers[modifier | modifier le wikicode]

Le calcul à effectuer ne fait pas forcément intervenir des nombres qui se prêtent aux techniques précédentes, néanmoins, on peut forcer le passage de diverses manières :

  • décaler le problème : pour calculer 13 × 18, on regrette de ne pas avoir à calculer 13 × 17, où l'on dispose de la technique des carrés : il suffit de voir 13 × 18 comme 13 × 17 + 13, et on a : 225 – 4 + 13 = 234 ;
  • factoriser version 1 : pour calculer 27 × 72, il suffit de se débarrasser des multiplications par 2 (faciles) qui sont cachées derrière : 72 = 2 × 36 = 2 × 2 × 2 × 9, donc il suffit de calculer 27 × 9 puis multiplier par 2 trois fois de suite :
27 × 9 = 243, puis 243 × 2 = 486, 486 × 2 = 972, et finalement 972 × 2 = 1944.
  • factoriser version 2 : pour calculer 13 × 18, on factorise une fois et on obtient 10 × 18 + 3 × 18 puis on recommence pour chaque multiplication
10 × 18 = 10 × 10 + 10 × 8 = 100 + 80 = 180 et 3 × 18 = 3 × 10 + 3 × 8 = 30 + 24 = 54 ; au final on a 180 + 54 = 234 (cette technique nécessite uniquement d'avoir de la mémoire et marche pour n'importe quel type de multiplication).

Multiplication croisée[modifier | modifier le wikicode]

Cette technique est très répandue dans les compétitions de calcul mental. En voici un exemple d'utilisation :

Soit à multiplier 8397 par 5621. On écrit les deux nombres l'un au-dessus de l'autre.

La première colonne montre un schéma correspondant à l'étape de calcul. La seconde colonne montre le calcul correspondant. La troisième colonne indique le nombre posé (écrit) et la quatrième colonne montre la retenue.

Schéma Calcul Posé Retenu
(7\times1) = 7 7 0
(9 \times 1) + (7 \times 2) + 0= 23 3 2
 (3 \times 1) + (9 \times 2) + (7 \times 6) + 2 = 65 5 6
 (8 \times 1) + (3 \times 2) + (9 \times 6) + (7 \times 5) + 6 = 109 9 10
(8 \times 2) + (3 \times 6) + (9 \times 5) + 10 = 89 9 8
(8 \times 6) + (3 \times 5) + 8 = 71 1 7
(8 \times 5) + 7 = 47 7 4


Remarque : dans les étapes de calcul, la retenue peut parfois être supérieure à 9.

On écrit la dernière retenue puis tous les résultats posés dans l'ordre inverse de celui où ils ont été calculés : soit : 4, 7, 1, 9, 9, 5, 3, 7. 8397 \times 5621 = 47199537.

Vérifier son résultat[modifier | modifier le wikicode]

Ordre de grandeur[modifier | modifier le wikicode]

Si en multipliant deux nombres plus petits que 100 on trouve plus de 10 000, il y a assurément un problème ! Ces considérations sont très empiriques et ne repèrent que les erreurs grossières, mais c'est la méthode la plus rapide. Ainsi la relativité, art complexe s'il en est, est là pour nous raisonner.

Chiffre des unités[modifier | modifier le wikicode]

Si vous multipliez les chiffres des unités de a et b, le chiffre des unités du résultat est le chiffre des unités de a × b ; exemple : 27 × 72 doit finir par un 4. Cette vérification permet de vérifier un chiffre avec certitude.

Calcul d'un quotient : a ÷ b[modifier | modifier le wikicode]

Pour calculer un quotient, on peut diviser le dividende et le diviseur par le même nombre :

  • 18\div12=3\div2=1,5 (on a simplifié par 6)
  • 35\div15=7\div3=2+\frac{1}{3}=2,33\cdots (on a simplifié par 5)

Calcul approximatif (Ordre de grandeur)[modifier | modifier le wikicode]

Commencer les produits par la partie gauche et simplifier : 117 × 34 = ?

  • 100 × 30 + r1 = 3000 + r1 (négliger le reste r1)
  • un peu mieux
    • 100 × 30 + 20 × 30 + r2 = 3000 + 600 + r2 = 3600 + r2
    • 100 × 30 + r1 = 3600 + r2
  • encore mieux
    • 120 × 34 + r3 = 100 × 30 + 20 × 30 + 120 × 4 + r3 = 3000 + 600 + 480 + r3 = 4080 + r3
  • Finalement
    • 117 × 34 = 100 × 30 + 20 × 30 + 120 × 4 – 3 × 30 – 3 × 4
    • 117 × 34 = 3000 + 600 + 480 - 90 - 12
    • 117 × 34 = 3978 (simple)
  • Les restes se précisent au fur et à mesure : |r1| > |r2| > |r3|. Où |x| est la valeur absolue de x, c'est-à-dire x en valeur positive.
  • D'où 117 × 34 est :
    • en première évaluation proche de 3000
    • en deuxième évaluation proche de 3600
    • en troisième évaluation proche de 4080
    • en quatrième évaluation proche de 3990
    • finalement égal à 3978

Toutes les méthodes exposées dans l'article peuvent se combiner.

117 × 34 ≠ 120 × 35 = 120 × 70 ÷ 2 = 60 × 70 = 4200
117 × 34 ≠ 120 × (100 ÷ 3) = 4000

Calcul approché[modifier | modifier le wikicode]

La connaissance du développement limité d'une fonction au voisinage d'un point (0 en particulier) permet de calculer des valeurs approchées.

Exemple
\frac{1}{1-x} = \sum_{i=0}^n x^i + o(x) donc \frac{1}{0,97} \approx 1 + 0,03 car 0,97 = 1 - 0,03, en considérant que 0,03 est proche de zéro. On peut affiner le calcul : \frac{1}{0,97} \approx 1 + 0,03 + 0,03^2, soit 1,0309.

Calcul approximatif d'une racine carrée[modifier | modifier le wikicode]

Cette technique permet d'obtenir environ trois bonnes décimales par opération. On doit savoir que (ab)2 = a2 – 2ab + b2 Il suffit de choisir un b tellement petit que le terme b2 est négligeable. Par exemple, si on a la racine de 15 à calculer, on sait que la racine de 16 est 4. On doit prendre un b qui fait que (4 – b)2 = 15 ou presque. Puisque (4 – b)2 = 16 – 2 × 4 × b environ, on prend b = (16 – 15) ÷ (2 × 4), c'est-à-dire 1/8 ou 0,125. La racine carrée de 15 vaut donc environ 4 – 0,125 ou 3,875. Si on veut plus de précision, on recommence. Puisque notre 4 initial était à notre choix, on peut recommencer avec 3,88 au lieu, si on trouve que 3,875 est trop précis. Nous avons donc (3,88 – b)2 = 15. b = (3,882 - 15) ÷ (2 × 3,88) = (15,054 – 15) ÷ (7,76) = environ 0,054 ÷ 8 donc environ 0,00675. La racine de 15 est maintenant évaluée à 3,88 – 0,00675 ou 3,87325. La valeur donnée par une calculatrice est 3,8730.


Cette méthode peut être utilisée d'une façon différente (par produits). Notons que les opérations sont purement équivalentes.

  • On prend ici le même nombre que l'exemple ci-dessus. On l'exprime sous forme de produit de deux nombres (de préférence assez proches pour éviter les étapes inutiles) : par exemple 3*5 = 15. La racine se trouve donc entre 3 et 5. On note donc une première estimation : 4 (la moyenne des deux).
  • On remarque alors que 4 * 15/4 = 15. La racine se trouve entre ces deux nombres. On réitère l'opération en prenant leur moyenne : (16/4 + 15/4)/2 = 31/8. Deuxième approximation.
  • Et ainsi de suite : 31/8 * (15*8)/31 = 15. La racine se trouve entre 31/8 et 120/31.

La moyenne de ces deux nombres vaut (31/8 + 120/31)/2 = (961/248 + 960/248)/2 = 1921/496. 3eme et dernière approximation (continuer mentalement serait difficile).

  • La valeur de cette fraction donnée par une calculatrice est 3.8729839. Le résultat indiqué pour racine de 15 est 3.8729833. Soit 6 chiffres correspondants (le 7e ne correspond pas réellement car l'arrondi est différent).

De cette façon il est possible de trouver une fraction à valeur proche de la racine.

Calcul exact d'une racine carrée[modifier | modifier le wikicode]

Cette technique permet d'obtenir autant de décimales que nécessaire, en combinant additions et soustractions. Le procédé est itératif et présente l'avantage de fournir un chiffre exact de la racine à chaque itération.

Explication (et exemple avec le calcul de la racine de 5337) :

  • séparer le nombre dont on extrait la racine, en groupes de 2 chiffres en partant de la virgule (5337 donne 53 | 37 , 00 …) ;
  • prendre la tranche la plus à gauche et lui soustraire successivement tous les entiers impairs consécutifs, tant que le résultat obtenu est positif (ici : 53 -1-3-5-7-9-11-13 = 4) ;
  • le nombre de soustractions effectuées fournit le premier chiffre de la racine (ici 7) ;
  • accoler au résultat partiel des précédentes soustractions, le groupement de chiffres suivant (ici 4 et 37 => 437) ;
  • lui soustraire successivement tous les entiers impairs consécutifs, en partant du dernier nombre soustrait, incrémenté et accolé de 1, tant que le résultat obtenu est positif (437 - ((13 + 1)1 => 141) - 143 - 145 = 8) ;
  • le nombre de soustractions effectuées fournit le second chiffre de la racine (3) ;
  • réitérer le processus afin d'augmenter la précision du résultat obtenu… (800 - ((145+1)1 => 1461) négatif).
  • Attention, au cas où il n'est pas possible d'effectuer la moindre soustraction sans obtenir un résultat négatif, pour pouvoir continuer le procédé, il faut accoler le groupe de chiffres suivant, mais, pour obtenir les nombres à soustraire, il faut remplacer le dernier 1 par 0 et accoler ensuite un autre 1. (80 000 - ((1461-1)1 => 14 601) - 14 603 - 14 605 - 14 607 - 14 609 = 6975).

Ainsi en première approximation, il est possible de trouver que la racine de 5337 est 73,05.

Méthode de calcul des carrés[modifier | modifier le wikicode]

Cette méthode se base sur une démonstration mathématique alliant suites et sommes. Elle n'est valable, bien entendu, que pour des carrés entiers, positifs, ou négatifs. En effet, (-n)² = n². D'où cette méthode permet aussi de calculer des carrés négatifs. Soit un entier n² à calculer.

1) Soit n² à calculer. Dans un premier temps, choisissez un nombre entier p. Élevez p au carré et calculez le résultat qu'on nommera A.

2)Calculez à présent (p+1)². On nommera ce résultat B. Il est important que ce soit le carré consécutif du nombre p que vous avez choisi en 1).

Vous avez alors :

p² = A

(p+1)² = B


3) Considérez maintenant l'expression B-A. Soit B-A = d (D pour différence de B-A)

Vous avez alors :

p² = A

(p+1)² = B

B-A = d


4) Considérons maintenant e tel qu'e = n-(p+1). Il est vital que ce soit (p+1) et pas (p+1)². e représente alors la différence entre le carré de n a calculer (ou n²) avec le carré consécutif du nombre choisi p.


Ainsi vous avez :

p² = A

(p+1)² = B

B-A = D

e = n-(p+1)

Vous n'avez plus qu'a utiliser la formule suivante :

n² = B + e(e+1) + De

Exemple

Soit à calculer 25². D'où n = 25 puisque l'on veut le carré de 25.

on choisit un nombre p.

je choisis p =4

je calcule A = p² = 16

je calcule le carré consécutif de p qui est égal à B = (p+1)² = (4+1)² = 5² = 25

Je calcule D = B-A = 25-16 = 9

Je calcule e = n-(p+1) = 25-(4+1) = 25-5 = 20


j'ai donc : B = 25

D = 9

e= 20


or n² = 25² = B + e(e+1) + De

25² = 25 + 20x21 + 9x20

25² = 25 + 420 + 180

25² = 625.


Bibliographie[modifier | modifier le wikicode]

Articles connexes[modifier | modifier le wikicode]

Liens externes[modifier | modifier le wikicode]