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Thermodynamique statistique : Extension à la mécanique quantique
Thermodynamique statistique/Extension à la mécanique quantique », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Dans cette partie du cours, on va considérer un gaz de particules identiques supposé parfait.
Particule dans une boîte : petite incursion dans la mécanique quantique[modifier | modifier le wikicode]
On considère une particule en translation suivant un axe x, enfermée dans un puits de potentiel à murs infinis de longueur L. On suppose le potentiel nul entre les abscisses 0 et L. Cette particule est représentable par une onde plane. En choisissant le formalisme d'une onde plane monochromatique dans une cavité, on en vient à un problème d'onde stationnaire. On sait alors que la longueur d'onde est quantifiée par
Ceci entraîne la quantification du vecteur d'onde :
Rappel : Le hamiltonien vaut
On en tire la quantification de l'énergie :
Si la particule est en translation dans une « boîte de potentiel » cubique de côté L, la quantification se fait dans chaque direction du mouvement :
Factorisation de la fonction de partition pour N particules sans interactions[modifier | modifier le wikicode]
Dans ce cas, la fonction de partition à N corps se factorise en un produit de N fonctions de partition à un corps.
où apparaissent les fonctions de partition à une particule :
La fonction de partition à une particule dans le cas unidimensionnel s'écrit :
On va justifier que cette somme peut être remplacée par une intégrale. On calcule l'écart entre deux niveaux d'énergie consécutifs :
Application aux petites particules :
- Pour une masse kg dans une boîte de longueur L = 1 cm, à des températures de l’ordre d'environ 10 K :
On peut donc plus que raisonnablement considérer que pour tous les états d'énergie accessibles :
On peut donc considérer les développements limités des expressions précédentes :
On arrive donc à :
Début d’un principe
Approximation du continuum
On peut donc remplacer la somme par l'intégrale
Fin du principe
Dans l'espace, la fonction de partition à une particule devient :
Cette somme, grâce à la même approximation que dans le cas à une dimension, peut être remplacée par une intégrale :
On se place dans une boîte cubique de côté L. La quantification des vecteurs d'onde conduit à :
D'où
Or
Donc
Finalement :
On reprend l’expression de la fonction de partition à une particule :
On sait que:
On pose alors le changement de variable , d'où
D'où la fonction de partition à une particule :
Longueur d'onde thermique de de Broglie
La quantité a la dimension d'une longueur.
On introduit une longueur microscopique caractéristique, la longueur d'onde thermique de de Broglie :
Physiquement, Λ correspond à l'extension spatiale du paquet d'ondes associé à la particule.
La fonction de partition à une particule devient .
Remarque
On remarque que Λ augmente lorsque T diminue. Cette constatation est au cœur de la théorie des gaz ultrafroids : l'aspect particulaire du gaz doit être abandonné aux très basses températures pour expliquer les différents phénomènes qui peuvent se produire, notamment la condensation de Bose-Einstein, la superfluidité, la supraconductivité... Tous ces phénomènes sont des manifestations de la physique quantique à l'échelle macroscopique.
- ↑ « Cours de physique statistique », Claire Lhuillier