Théorie des corps/Théorie élémentaires des corps

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Nous nous intéressons ici aux corps, rappelons tout d'abord la définition d'un corps et donnons les premières propriétés immédiates de ces objets.

[modifier] Définitions, généralités

Définition

On appelle corps un anneau commutatif k tel que le monoïde multiplicatif des éléments non nuls de k soit un groupe

Notons que nous avions pris la convention qu'un corps est toujours commutatif, on préfèrera le terme d'algèbre à division pour parler d'un corps non commutatif. De plus on suppose toujours que c'est-à-dire que le corps n'est pas réduit à l'unique élément 0. Un morphisme de corps sera un morphisme d'anneau entre corps.

Propriété

Soit k un corps et un anneau, un morphisme d'anneau de k dans A est toujours injectif.

Démonstration

Si φ(x) = 0 avec on aurait 1 = φ(1) = φ(xx − 1) = 0 et A serait nul, ce qui est exclu.

Nous dirons qu'un corps K est une extension de k si k est un sous corps de K, et on notera K / k, notons que K / k hérite d'une structure de k-algèbre, on appelera degré de K / k la dimension de cette algèbre sur k et on notera [K:k] ce degré.

Formule de la base télescopique

Soit L / K, et K / k deux extensions de corps, alors [L:k] = [L:K][K:k]

Démonstration

Il est clair que ssi , on suppose donc que ces trois degrés sont finis. Alors donnons nous θ1,...,θn une base de K / k et une base de L / K alors il est clair que est une base de L / k, la formule en résulte.