Théorie générale du choix et des préférences/Teorema di rappresentazione di Debreu

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Se le preferenze $\succcurlyeq$, definite su $X=\mathbb {R} _{+}^{n}$, sono (riflessive,) complete, transitive, continue e strettamente monotoniche, allora esiste una funzione $u:X\rightarrow \mathbb {R}$ tale che: $\forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in X,u\left(\mathbf {x} \right)\geq u\left(\mathbf {y} \right)\Leftrightarrow \mathbf {x} \succcurlyeq \mathbf {y}$

Dimostriamo solo l'esistenza della funzione; per la continuità si rinvia all'articolo originale di Debreu (1954). Sia $\mathbf {e}$, vettore in $\mathbb {R} _{+}^{n}$, costituito da tutti uno. Dato qualsiasi paniere $\mathbf {x} \in X$, sia $u\left(\mathbf {x} \right)$ il numéro tale che $\mathbf {x} \sim u\left(\mathbf {x} \right)\mathbf {e}$, ossia tale che il paniere dato è indifférente ad un paniere costituito dalla quantità $u\left(\mathbf {x} \right)$ di ciascun bene. Dimostriamo che tale numéro esiste per ogni $\mathbf {x} \in X$ ed è unico:

• sia $B\equiv \left\{t\in \mathbb {R} |t\mathbf {e} \succcurlyeq \mathbf {x} \right\}$ l'insieme di tutti i numeri reali tali che i panieri costituiti da una tale quantità di ciascun bene sono debolmente preferiti a $\mathbf {x}$; tale insieme è non vuoto, visto che almeno contiene tutti i $t$ maggiori della più grande quantità di bene contenuta in $\mathbf {x}$: infatti, data la monotonicità imposta alle preferenze, $t\mathbf {e}$ è sicuramente preferito a $\mathbf {x}$.
• sia $W\equiv \left\{t\in \mathbb {R} |\mathbf {x} \succcurlyeq t\mathbf {e} \right\}$ l'insieme di tutti i numeri reali tali che $\mathbf {x}$ è preferito ai panieri costituiti da una tale quantità di ciascun bene; anche tale insieme non è vuoto, visto che almento contiene lo zero.
• $B$ e $W$ sono entrambi chiusi, dato l'assioma di continuità.
• per l'assioma di completezza, tutti i panieri sono confrontabili, dunque $B\cup W=\mathbb {R}$.
• viste le due osservazioni precedenti, $B\cap W\neq \emptyset$, in quanto devono almeno avere il punto di frontiera in comune; a questo punto ci si chiede se l'intersezione è un singolo punto (solo in tal caso potremmo parlare di funzione):
  • per assurdo, si assuma l'esistenza di $t>t'|t,t'\in B\cup W$, si avrebbe $t'\mathbf {e} \sim \mathbf {x} \sim t\mathbf {e}$ e, per la transitività, $t'\mathbf {e} \sim t\mathbf {e}$, in contrasto con $t\mathbf {e} \succ t'\mathbf {e}$, implicata dalla monotonicità stretta. Quindi l'intersezione è un singleton.

Una volta dimostrata l'esistenza e l'unicità di tale numéro, rimane da dimostrare che $\forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in X,u\left(\mathbf {x} \right)\geq u\left(\mathbf {y} \right)\Leftrightarrow \mathbf {x} \succcurlyeq \mathbf {y}$, ossia che la funzione "funzioni" in modo corretto. La dimostrazione è banale e si basa sulla monotonicità stretta e la transitività, dunque la si riporta in simboli senza commenti:

• $\Rightarrow$ - per la monotonicità stretta: $u\left(\mathbf {x} \right)>u\left(\mathbf {y} \right)\Rightarrow u\left(\mathbf {x} \right)\mathbf {e} \succ u\left(\mathbf {y} \right)\mathbf {e}$ e per la transitività $\mathbf {x} \succ \mathbf {y}$
• $\Leftarrow$ - è uguale alla precedente

Volendo rappresentare il problema su due dimensioni, si immagini di avere il generico paniere $\mathbf {x}$. Tutti i panieri sono confrontabili con $\mathbf {x}$, ed in particolare quelli che si trovano sulla prima bisettrice. Questi ultimi sono tutti non indifferenti tra loro, per via della stretta monotonicità: sono, anzi, perfettamente ordinabili mediante la preferenza stretta. Visto che esiste almeno un paniere come $\mathbf {y}$ (strettamente preferito a $\mathbf {x}$) ed almeno un paniere non preferito a $\mathbf {x}$ (l'origine), per via della continuità siamo certi dell'esistenza del paniere $u\left(\mathbf {x} \right)\mathbf {e} \sim \mathbf {x}$,e , sempre per la stretta monotonicità, questo è unico.

Dal grafico, inoltre, è possibile catturare l'idea di classe d'equivalenza in questo contesto. Ogni paniere appartiene ad una classe di equivalenza (che costituiscono le curve di indifferenza, che vedremo più avanti), il cui elemento rappresentativo potrebbe essere uno dei panieri sulla bisettrice. Lo spazio di tutti i panieri $X$ è partizionato in curve di indifferenza, e l'insieme di tali infinite curve è l'insieme quoziente $X/\sim$, il quale è totalmente ordinato mediante la preferenza stretta, come facilmente si comprende osservando i panieri rappresentativi sulla bisettrice: questi sono, infatti, totalmente ordinati per via della monotonicità stretta delle preferenze.