Théorème du cosinus

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[modifier] Rappel du théorème de Pythagore

Triangle quelconque

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Dans cet exemple $c^2 = l^2+h^2\;$ et $a^2= m^2 + h^2\;$ .

[modifier] Très brefs rappels en trigonométrie

De plus, il convient de rappeler l'une des propriétés des sinus et des cosinus, valable dans le triangle rectangle :

$\sin\alpha = \frac{h}{c}\;$ et $\cos\alpha = \frac{l}{c}\,$ .

À partir de cela, la somme des carrés des sinus et cosinus d'un même angle est égal à 1.

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \left(\frac{h}{c}\right)^2 + \left(\frac{l}{c}\right)^2 = \frac{h^2}{c^2} + \frac{l^2}{c^2} = \frac{h^2 + l^2}{c^2}= \frac{c^2}{c^2} = 1$

[modifier] Le théorème de Pythagore généralisé

Dans un premier temps il convient de définir les égalités suivantes

$\sin\alpha = \frac{h}{c} \Rightarrow h= c\,\sin\alpha$
$\cos\alpha = \frac{l}{c} \Rightarrow l= c\,\cos\alpha$
$b = l + m \Rightarrow b= c\,\cos\alpha + m \Rightarrow m = b - c\,\cos\alpha$

Nous arrivons donc aux résultats suivants

$h^2+m^2 = a^2 \,$
$c^2\,\sin^2\alpha + ( b - c\,\cos\alpha)^2= a^2$
$c^2\,\sin^2\alpha + b^2 - 2bc\,\cos\alpha + c^2\,\cos^2\alpha = a^2$
$c^2\,\sin^2\alpha + c^2\,\cos^2\alpha + b^2 - 2bc\,\cos\alpha = a^2$
$c^2\,(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + b^2 - 2bc\,\cos\alpha = a^2$
$c^2 + b^2 - 2bc\,\cos\alpha = a^2$

Théorème d'Al-Kashi

$a^2 = c^2 + b^2 - 2bc\,\cos\alpha$

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