Théorème de l'angle inscrit/Angle inscrit et angle au centre

Une page de Wikiversité.
Aller à : navigation, rechercher
Début de la boite de navigation du chapitre



Angle inscrit et angle au centre
Icône de la faculté
Chapitre no1
Leçon : Théorème de l'angle inscrit
Retour au sommaire
Chap. suiv. : Rotation
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Théorème de l'angle inscrit : Angle inscrit et angle au centre
Théorème de l'angle inscrit/Angle inscrit et angle au centre
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Définitions[modifier | modifier le wikicode]

Soit un cercle de centre O et trois points A, B et M appartenant à ce cercle. L'angle AOB est un angle au centre qui intercepte l'arc de cercle AB . L'angle AMB est un angle inscrit qui intercepte l'arc de cercle AB.

Théorème 1[modifier | modifier le wikicode]

Si un angle inscrit et un angle au centre interceptent le même arc de cercle alors la mesure de l’angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre.

Démonstration[modifier | modifier le wikicode]

La démonstration est faite en trois étapes. Ces trois étapes réunies couvrent tous les cas, cependant il faut bien démontrer toutes les trois étapes pour pouvoir considérer le cas général comme démontré.

Soient les notations suivantes: O désigne le centre du cercle C, point du plan de référence A et B les deux points du cercle C qui délimitent l'arc de cercle de l'énoncé (donc \widehat{AOB} est l'« angle au centre») P le point du cercle C qui permet de dénoter \widehat{APB} comme étant l'angle au centre désigné dans l'énoncé. (donc \widehat{APB} est l'«angle inscrit»)

Considérons 3 cas: (a) l'angle inscrit est délimité par un diamètre
(b) les deux sécantes délimitant l'angle inscrit sont de part et d'autre du diamètre passant par P
(c) Les deux sécantes délimitant l'angle inscrit sont du même côté de ce diamètre.

Cas (a)[modifier | modifier le wikicode]

Sans perte de généralité [1], nous pouvons dire que [AP] est le diamètre en question.

1.\scriptstyle\widehat{APB} = 90° - \scriptstyle\widehat{PAB} (car le triangle ABP est rectangle en B (car B appartient à C, dont [AP] est diamètre.)

Or le triangle OAB est isocèle (OA = OB) donc \scriptstyle\widehat{OAB} = \scriptstyle\widehat{OBA} Dès lors dans le triangle OAB, on a

2. \scriptstyle\widehat{AOB} = 180° - 2× \scriptstyle\widehat{OAB}.

Comme A, O et P sont alignés : \scriptstyle\widehat{OAB} = \scriptstyle\widehat{PAB}, donc les seconds membres des égalités 1. et 2. sont comparables:

\scriptstyle\widehat{AOB} = 180° - 2 × \scriptstyle\widehat{OAB} = 2× (90° - \scriptstyle\widehat{OAB}) = 2× \scriptstyle\widehat{APB}

Les deux membres externes de ces égalités constituent la thèse.

Cas (b)[modifier | modifier le wikicode]

Il faut passer par un intermédiaire: traçons le diamètre op et notons t le point du cercle diamétralement opposé à p.

On a donc \scriptstyle\widehat{AOB} = \scriptstyle\widehat{AOT} + \scriptstyle\widehat{TOB} et \scriptstyle\widehat{APB} = \scriptstyle\widehat{APT} + \scriptstyle\widehat{TPB}

L'usage du cas (a) nous dit que

\scriptstyle\widehat{APT} = \scriptstyle\widehat{AOT} et 2× \scriptstyle\widehat{BPT} = \scriptstyle\widehat{BOT}.

Donc \scriptstyle\widehat{AOB} = 2× \scriptstyle\widehat{APB}. (quod erat demonstrandum)

Cas (c)[modifier | modifier le wikicode]

Sans perte de généralité supposons que les angles suivants ont des amplitudes positives [1]

De même que dans le cas (b), on a \scriptstyle\widehat{AOB} = \scriptstyle\widehat{AOT} - \scriptstyle\widehat{TOB} et \scriptstyle\widehat{APB} = \scriptstyle\widehat{APT} - \scriptstyle\widehat{TPB}

on achève alors la démonstration comme ci-dessus.


  1. 1,0 et 1,1 [sinon inversez le rôle de a et b!]

Corollaire[modifier | modifier le wikicode]

Si deux angles inscrits dans un cercle interceptent le même arc, alors ils ont la même mesure.

Démonstration[modifier | modifier le wikicode]

Considérons l'angle au centre correspondant. Il a come amplitude le double de l'amplitude de n'importe lequel de ces deux angles. Dès lors ces angles doivent avoir la même amplitude.



Théorème de l'angle inscrit
bouton image vers le chapitre précédent sommaire