Théorème de l'angle inscrit/Angle inscrit et angle au centre
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| Chapitre no1 | |||
| Leçon : Théorème de l'angle inscrit | |||
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Théorème de l'angle inscrit/Angle inscrit et angle au centre », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
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Définitions [modifier]
Soit un cercle de centre O et trois points A, B et M appartenant à ce cercle. L'angle AOB est un angle au centre qui intercepte l'arc de cercle AB . L'angle AMB est un angle inscrit qui intercepte l'arc de cercle AB.
Théorème 1 [modifier]
Si un angle inscrit et un angle au centre interceptent le même arc de cercle alors la mesure de l’angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre.
Démonstration [modifier]
La démonstration est faite en trois étapes. Ces trois étapes réunies couvrent tous les cas, cependant il faut bien démontrer toutes les trois étapes pour pouvoir considérer le cas général comme démontré.
Soient les notations suivantes: O désigne le centre du cercle C, point du plan de référence A et B les deux points du cercle C qui délimitent l'arc de cercle de l'énoncé (donc 
est l'« angle au centre») P le point du cercle C qui permet de dénoter 
comme étant l'angle au centre désigné dans l'énoncé. (donc est l'«angle inscrit»)
Considérons 3 cas: (a) l'angle inscrit est délimité par un diamètre
(b) les deux sécantes délimitant l'angle inscrit sont de part et d'autre du diamètre passant par P
(c) Les deux sécantes délimitant l'angle inscrit sont du même côté de ce diamètre.
Cas (a) [modifier]
Sans perte de généralité [1], nous pouvons dire que [AP] est le diamètre en question.
1.
= 90° - 
(car le triangle ABP est rectangle en B (car B appartient à C, dont [AP] est diamètre.)
Or le triangle OAB est isocèle (OA = OB) donc 
= 
Dès lors dans le triangle OAB, on a
2. 
= 180° - 2× .
Comme A, O et P sont alignés : = , donc les seconds membres des égalités 1. et 2. sont comparables:
= 180° - 2 × = 2× (90° - ) = 2×
Les deux membres externes de ces égalités constituent la thèse.
Cas (b) [modifier]
Il faut passer par un intermédiaire: traçons le diamètre op et notons t le point du cercle diamétralement opposé à p.
On a donc = 
+ 
et = 
+ 
L'usage du cas (a) nous dit que
2× = et 2× 
= 
.
Donc = 2× . (quod erat demonstrandum)
Cas (c) [modifier]
Sans perte de généralité supposons que les angles suivants ont des amplitudes positives [1]
De même que dans le cas (b), on a = - et = -
on achève alors la démonstration comme ci-dessus.
Corollaire [modifier]
Si deux angles inscrits dans un cercle interceptent le même arc, alors ils ont la même mesure.
Démonstration [modifier]
Considérons l'angle au centre correspondant. Il a come amplitude le double de l'amplitude de n'importe lequel de ces deux angles. Dès lors ces angles doivent avoir la même amplitude.
