Système d'équations linéaires/Pivot de Gauss

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Pivot de Gauss
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Chapitre no6
Leçon : Système d'équations linéaires
Chap. préc. : Systèmes de Cramer
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Système d'équations linéaires/Pivot de Gauss
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Introduction[modifier | modifier le wikicode]

La méthode du « pivot de Gauss », ou « élimination de Gauss-Jordan », est un algorithme efficace permettant de résoudre — lorsque c'est possible — un système d'équations linéaires. Contrairement à la méthode de Cramer, le pivot de Gauss ne requiert pas la connaissance des matrices (sauf pour sa démonstration) et donne même des solutions lorsque le système n'est pas de Cramer.

Numériquement, l'implémentation sur ordinateur de cet algorithme donne généralement de mauvais résultats (même s'il est rapide) : les erreurs d'arrondi se cumulent et faussent généralement la solution. Néanmoins, il n'utilise que des additions et multiplications, ce qui en fait le meilleur du point de vue du rapport simplicité/efficacité disponible en calcul manuel.

Présentation de l'algorithme & exemple[modifier | modifier le wikicode]

Début d'un principe
Fin du principe


Voyons maintenant comment s'y prendre :



La suite des étapes donne (pivot : y) :

\left\{\begin{array}{*{7}{c}} x &-& y &+& 2z &=& 5 \\ 0 &+& y &-& z &=& -1 \\ 0 &-& 0 &-& 7z &=& -21 \\ \end{array}\right.

On en déduit z = 3, puis y = 2, puis x = 1. On vérifie que ce triplet est solution.

Remarques[modifier | modifier le wikicode]

Image logo indiquant une information importante Il y a un ordre précis dans le choix du pivot. Ne pas le respecter peut amener à des résultats aberrants.

La méthode du pivot de Gauss permet également de calculer le rang, l'inverse et le déterminant d'une matrice. Sa complexité est en O\left(n^3\right), ce qui en fait un algorithme plus efficace que la méthode de Cramer, plus général que celle-ci. Néanmoins, il ne s'agit pas du « meilleur algorithme envisageable » : on pense qu'un tel algorithme atteindrait une complexité proche de O \left( n^2 \right). Nous avons évoqué plus haut la faible précision de cet algorithme — en réalité, dans certains contextes, il est possible d'obtenir une précision exacte — mais ce n'est pas avec des nombres réels !

Cette notion de complexité signifie que, si on tente de résoudre un système de n équations à n inconnues, il faut effectuer de l'ordre de opérations. Dans notre exemple, n = 3 — il faut tout de même effectuer de l'ordre de 27 opérations.

Il existe une variante : une fois le système étagé, on repart à partir de la dernière ligne pour éliminer les termes en z, puis de l'avant dernière pour éliminer les termes en y etc. on aboutit ainsi à un système diagonal, dont les solutions sont immédiates. C'est ce qu'il faut faire lors du calcul de l'inverse d'une matrice.


Système d'équations linéaires
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