Système d'équations linéaires/Exercice/Sujet de brevet

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**Sujet de brevet**
Leçon : Système d'équations linéaires

Exercice 1

Cet exercice est de niveau 9.

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Système d'équations linéaires/Exercice/Sujet de brevet », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Exercice 1

a. Résoudre le système suivant par la méthode de substitution : $\begin{cases} 2x + y = 2 \\ 3x + 2 y = 1 \end{cases}$

Solution

Par la méthode de substitution, en exprimant y dans la première équation et en le remplaçant dans la seconde.

$\begin{cases} 2x + y = 2 \\ 3x + 2 y = 1 \end{cases}$

$\begin{cases} y = 2 - 2x \\ 3x + 2 y = 1 \end{cases}$

$\begin{cases} y = 2 - 2x \\ 3x + 2 \left(2 - 2x \right) = 1 \end{cases}$

$\begin{cases} y = 2 - 2x \\ 3x + 4 - 4 x = 1 \end{cases}$

$\begin{cases} y = 2 - 2x \\ -x = -3 \end{cases}$

$\begin{cases} y = 2 - 2 \times 3 \\ x = 3 \end{cases}$

$\begin{cases} y = -4 \\ x = 3 \end{cases}$

b. Résoudre le système suivant, avec une autre méthode que la méthode de substitution : $\begin{cases} 2x + y = 2 \\ 3x + 2 y = 1 \end{cases}$

Solution

Par la méthode d'ajout membre à membre. On cherche par quel facteur il faut multiplier chaque équation pour que en les additionnant membre à membre, une des inconnues disparaisse. Ici, si on multiplie la première équation par -2 (opposé du facteur de y dans la seconde équation) et que on l'ajoute à la seconde, y disparait du résultat.

$\begin{cases} -4x - 2y = -4 \\ 3x + 2 y = 1 \end{cases}$

$\begin{cases} (3 - 4) x = 1 -4 \\ 2 y = 1 - 3 x \end{cases}$

$\begin{cases} -x = -3 \\ 2 y = 1 - 3 . 3 \end{cases}$

$\begin{cases} x = 3 \\ y = ( 1 -9) /2 \end{cases}$

$\begin{cases} x = 3 \\ y = - 8 / 2 = -4 \end{cases}$

[modifier] Exercice 2

Résoudre le système suivant : $\begin{cases} x + y = 630 \\ 18x + 30y = 14220 \end{cases}$

Solution

$\begin{cases} x + y = 630 \\ 18x + 30y = 14220 \end{cases}$

$\begin{cases} 18x + 18y = 11340 \\ 18x + 30y = 14220 \end{cases}$

$\begin{cases} 0x + \left(30-18\right)y = 14220-11340 \\ 18x + 30y = 14220 \end{cases}$

$\begin{cases} 12y = 2880 \\ 18x + 30y = 14220 \end{cases}$

$\begin{cases} y = 240 \\ 18x + 30y = 14220 \end{cases}$

$\begin{cases} y = 240 \\ 18x + 30 \times 240 = 14220 \end{cases}$

$\begin{cases} y = 240 \\ 18x + 7200 = 14220 \end{cases}$

$\begin{cases} y = 240 \\ 18x = 7020 \end{cases}$

$\begin{cases} y = 240 \\ x = 390 \end{cases}$

Dans un parc zoologique, la visite coûte 30 € pour les adultes et 18 € pour les enfants. À la fin de la journée, on sait que 630 personnes ont visité le zoo et que la recette du jour est de 14220 €.

Parmi les personnes qui ont visité le zoo ce jour-là, quel est le nombre d'enfants ? Quel est le nombre d'adultes ?

Solution

Il y a eu 390 enfants.
Il y a eu 240 adultes.

[modifier] Exercice 3

Résoudre le système suivant : $\begin{cases} 3x - 7y = 18,8\\ x - 5y = 10 \end{cases}$

Solution

$\begin{cases} 3x - 7y = 18,8\\ x - 5y = 10 \end{cases}$

$\begin{cases} 3x - 7y = 18,8\\ x = 10 + 5y \end{cases}$

$\begin{cases} 3 \left(10 + 5y\right) - 7y = 18,8\\ x = 10 + 5y \end{cases}$

$\begin{cases} 30 + 15 y - 7y = 18,8\\ x = 10 + 5y \end{cases}$

$\begin{cases} 8y = 18,8 - 30\\ x = 10 + 5y \end{cases}$

$\begin{cases} y = -1,4\\ x = 10 + 5y \end{cases}$

$\begin{cases} y = -1,4\\ x = 3 \end{cases}$

[modifier] Exercice 4

Au restaurant la famille Metz a payé 112 € pour trois menus « adulte » et un menu « enfant ». La famille Walter a payé 94 € pour deux menus « adulte » et deux menus « enfant ».

1. En appelant x le prix d'un menu « adulte » et y le prix d'un menu « enfant », écrire un système d'équations qui permet de trouver le prix de chacun des menus.

2. Résoudre le système.

3. Donner le prix du menu « adulte » et celui du menu « enfant ».

Solution

1. $\begin{cases} 3 x +1 y = 112\\ 2 x + 2 y = 94 \end{cases}$

2. $\begin{cases} 3 x + 1 y = 112\\ 2 x + 2 y = 94 \end{cases}$

$\begin{cases} 6 x + 2 y = 224\\ 2 x + 2 y = 94 \end{cases}$

$\begin{cases} 6 x + 2 y = 224\\ 4 x = 130 \end{cases}$

$\begin{cases} 6 x + 2 y = 224\\ x = 32,5 \end{cases}$

$\begin{cases} 6 \times 32,5 + 2 y = 224\\ x = 32,5 \end{cases}$

$\begin{cases} 195 + 2 y = 224\\ x = 32,5 \end{cases}$

$\begin{cases} 2 y = 29\\ x = 32,5 \end{cases}$

$\begin{cases} y = 14,5\\ x = 32,5 \end{cases}$

3. Le menu « adulte » est à 32,5 €, tandis que le menu « enfant » est à 14,5 €.

[modifier] Exercice 5

1. Résoudre le système suivant, d'inconnues x et y : $\begin{cases} x + y = 35\\ 8x + 7y = 260 \end{cases}$

2. Si x désigne le prix d'un article, exprimer en fonction de x le prix de cet article après une baisse de 20 %.

3. Pour l'achat d'un livre et d'un stylo, la dépense est de 35 €. Après une réduction de 20 % sur le prix du livre et de 30 % sur le prix du stylo, la dépense n'est que de 26 €.

Calculer le prix d'un livre et celui d'un stylo avant la réduction.

Solution

1. $\begin{cases} x + y = 35\\ 8x + 7y = 260 \end{cases}$

$\begin{cases} x = 35 - y\\ 8x + 7y = 260 \end{cases}$