Statique des fluides/Équation fondamentale de l'hydrostatique

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Équation fondamentale de l'hydrostatique
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Chapitre no3
Leçon : Statique des fluides
Chap. préc. : Équation fondamentale
Chap. suiv. : Poussée d'Archimède
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Énoncé[modifier | modifier le wikitexte]

Début d'un principe
Fin du principe


Démonstration[modifier | modifier le wikitexte]

Forces de contact[modifier | modifier le wikitexte]

Les forces de contact (localisées) agissent sur les surfaces \scriptstyle \vec F_S (forces de pression, frottements, etc) :

\overrightarrow F_S = \int\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\!\!\supset\!\!\!\!\!\!\!\int_S \mathrm d\overrightarrow F_S ;

En hydrostatique, les seules forces de contact sur le fluide sont les forces de pression. La force exercée sur une surface élémentaire s'écrit :

 \rm d \overrightarrow F_S = -p.\mathrm d \overrightarrow S ,

p est la pression en un point M.

Grâce au théorème du gradient, la force résultante de l'ensemble des pressions subies par le fluide s'exprime alors :

\overrightarrow F_S = \int\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\!\!\supset\!\!\!\!\!\!\!\int_S -p.\mathrm d \overrightarrow S = \int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V  - \overrightarrow{\mathrm{grad}} \,  p . \mathrm dV .

Forces à distance[modifier | modifier le wikitexte]

  • les forces à distance (réparties) qui agissent sur les volumes \scriptstyle \vec F_V (forces de pesanteur, champ électro-magnétique, etc) :
 \overrightarrow F_V = \int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V  \mathrm d \overrightarrow F_V .

En hydrostatique, la seule force à distance exercée sur le fluide est liée à la pesanteur et correspond au poids du fluide. La force exercée sur une particule fluide est donnée par :

\mathrm d \overrightarrow F_V = \mathrm d m .\overrightarrow g,

\scriptstyle \vec g est le champ gravitationnel qui dérive du potentiel gravitationnel \phi \!. On rappelle que :

\overrightarrow g = \overrightarrow{\mathrm{grad}} \,  \phi .

Force résultante[modifier | modifier le wikitexte]

La force résultante de l'ensemble des force de volume est le poids du fluide et s'exprime :

\overrightarrow F_V = \int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \mathrm d m .\overrightarrow g = \int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \rho .\overrightarrow g.\mathrm d V = m .\overrightarrow g =\rho .V.\overrightarrow g = \overrightarrow P.

D'après la deuxième loi de Newton, le fluide est en équilibre si :

 \sum_{fluide} \overrightarrow{F} = \overrightarrow F_S + \overrightarrow F_V = m.\overrightarrow a = \overrightarrow{0} .



Exemples[modifier | modifier le wikitexte]

Le tonneau de Pascal[modifier | modifier le wikitexte]

Un exemple (à gauche) et un contre exemple (à droite) du concept de crève-tonneau de Pascal



Un exemple (à gauche) et un contre exemple (à droite) du concept de crève-tonneau de Pascal.

1. Le contre-exemple du crève-tonneau

D'après l'équation fondamentale de l'hydrostatique pour les liquides incompressibles :

 p_{10mm} - p_{0mm} = \rho gh = 1000*10*10^{-2} = 100\ \mathrm{Pa}  \, .

La différence de pression subie par le tonneau s'élève au moins à 100 Pa.

Quelle force cela représente t-il ?

 F = (p_{10m} - p_{0m}).S = 100*1 = 100\ \mathrm{N}


2. L'exemple du crève-tonneau

D'après l'équation fondamentale de l'hydrostatique pour les liquides incompressibles :

 p_{10m} - p_{0m} = \rho gh = 1000*10*10 = 10^5 \ \mathrm{Pa} \, .

La différence de pression subie par le tonneau s'élève au moins à 100 000 Pa.

Quelle force cela représente t-il ?

 F = (p_{10m} - p_{0m}).S = (10^5)*1 = 100 \ \mathrm{kN} \!

La force subie par le tonneau a été multiplié par 1000, comme la hauteur d'eau.

Puiser de l'eau jusqu'à une certaine hauteur[modifier | modifier le wikitexte]

Un exemple (à gauche) et un contre exemple (à droite) du concept de crève-tonneau de Pascal

Une pompe aspirante permet de maintenir une pression quasi-nulle à la surface d'un puits  P_B = 0 \, .
​ À la surface de l'eau (dans le puits), on retrouvera la pression atmosphérique  P_A = P_{atmospherique} = 10^5 \ \mathrm{Pa} \, .

D'après l'équation fondamentale de l'hydrostatique pour les fluides incompressibles :

 P_A - P_B = \rho gh \, .

Or la pression au point B est positive (comme toutes les pressions) et très proche de 0. Donc :

 P_A  \ge \rho gh \Rightarrow h \le \frac{P_A}{\rho g} \Rightarrow h \le \frac{10^5}{1000*10} \Rightarrow h \le 10\ \mathrm{m} \, .

Si la hauteur du puits excède le décamètre, on ne pourra plus pomper l'eau avec des pompes aspirantes. En effet la faible pression entraîne l'évaporation de l'eau qui engendre le phénomène de cavitation, néfaste pour le système mécanique de la pompe. Il faudra utiliser des pompes refoulantes.

Le baromètre de Torricelli[modifier | modifier le wikitexte]

Réussir à aspirer l’eau à plus de dix mètres au dessus du niveau du fleuve Arno : telle était la priorité des ingénieurs-fontainiers du XVIIe siècle à Florence. La question sera même soumise à Galilée mais qui décède sans avoir résolu le problème. C'est son secrétaire, Torricelli qui apportera la réponse. Qu’est-ce qui empêche l’eau de monter au-delà d’une certaine hauteur ? Comme il n'est pas pratique de manipuler des colonnes d'eau de 10 m, Torricelli décida de remplacer l’eau par un liquide beaucoup plus lourd, le mercure. Il remplit complètement un tube de mercure, le bouche avec le doigt pour empêcher l’air de rentrer et le renverse sur un bassin de mercure. À sa grande surprise, le tube ne se vide pas complètement dans le bassin : une colonne de mercure de 76 cm reste dans le tube.

Un dispositif expérimental permettant de mettre en évidence l'existence de la pression atmosphérique

1. Pourquoi la colonne de mercure ne se vide-t-elle pas complètement ?

Deux forces, donc deux pressions s'exercent à la surface du bassin. La pression due à la colonne de mercure  P_{merc} \, et la pression atmosphérique  P_{atmospherique} \, . Le système est en équilibre: ces deux forces sont donc égales en intensité et s'appliquent en sens opposés :


 P_{merc} = P_{atmospherique} = 101 325\ \mathrm{Pa} \, .


De plus, dans la colonne de mercure, la pression du vide sur le liquide est nulle :


 P_{vide} = 0\ \mathrm{Pa}  \, .


2. Pourquoi la colonne de mercure arrête t-elle de se vider à la hauteur de 76 cm ?


D'après l'équation fondamentale de l'hydrostatique pour les liquides incompressibles, appliquée à la colonne de mercure :


 P_{merc} - P_{vide} = \rho gh \Rightarrow h = \frac{P_{merc}}{\rho g} = \frac{101325}{13545*9.81} = 0,76\ \mathrm{m} = 76\ \mathrm{cm} .

Cas des gaz parfaits[modifier | modifier le wikitexte]

Un contre exemple du crève-tonneau de Pascal

Dans le cas où la seule force volumique est le poids, l'équation fondamentale de l'hydrostatique s'écrit :

 - \overrightarrow{\nabla p} + \rho \overrightarrow{g} = \overrightarrow{0} .

Concernant les gaz parfaits, la masse volumique dépend de la pression :

 pV =nRT \Rightarrow \rho = \frac{pM}{RT}

Concernant l'accélération de pesanteur g, elle ne dépend que de l'altitude z. Il vient alors :

 - \frac{\partial p}{\partial x}.\overrightarrow{e_x} - \frac{\partial p}{\partial y}.\overrightarrow{e_y} - (\frac{\partial p}{\partial z}+\rho g).\overrightarrow{e_z} = \overrightarrow{0} \Rightarrow \begin{Bmatrix} \frac{\partial p}{\partial x} = 0  \\ \frac{\partial p}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial p}{\partial z}+ \frac{gM}{RT}.p =0  \end{Bmatrix} .

La pression ne dépend donc que de z. On résoud cette équation en posant :

\frac{\mathrm d p}{p} = - \frac{\mathrm d z}{\lambda} avec  \lambda = \frac{RT}{gM} \, .

On intègre et on obtient:

 p(z) = p_0.\exp{(\frac{-z}{\lambda})}

Application numérique sachant que la masse volumique de l'air est égal à 28,8 g/mol.

 \lambda = \frac{RT}{gM} = \frac{8,314*300}{10*28,8*10^{-3}} = 8,6\ \mathrm{km}

Cas des fluides compressibles[modifier | modifier le wikitexte]

La compressibilité d'un fluide permet de définir sa variation de volume en fonction de la pression. C'est une valeur très grande pour les gaz, faible pour les liquides et très faible pour les solides usuels. La compressibilité d'un fluide est indiqué par un coefficient noté \chi_T \, ,nommé "coefficient de compressibilité à température constante " :

\chi_T = -\frac{1}{V} \frac{\ \mathrm d V}{\ \mathrm d p}


Le coefficient de compressibilité peut aussi s'exprimer en fonction de la pression et de la masse volumique :

 m = \rho v \Rightarrow \mathrm dm = \mathrm d\rho.V + \rho .dV \Rightarrow \frac{\mathrm dm}{m} = \frac{d\rho}{\rho} + \frac{\mathrm dV}{V}


D'après la loi de conservation de la matière: (toujours à température constante)

 \frac{\mathrm dm}{m} = 0 \Rightarrow - \frac{\mathrm dV}{V} = \frac{\mathrm d \rho}{\rho} \Rightarrow \chi_T = \frac{1}{\rho} \frac{\mathrm d \rho}{\mathrm dp}


1. Au premier ordre, il vient :

 \chi_T = \frac{1}{\rho} \frac{\Delta \rho}{\Delta p} .


Si le fluide est très faiblement compressible alors  \frac{\Delta \rho}{\rho} \ll 1  :

 \chi_T \Delta p =  \frac{\Delta \rho}{\rho} \Rightarrow \chi_T \Delta p \ll 1 .


2. Pour un liquide peu compressible, le coefficient s'exprimera ainsi :

 \Delta p = \rho g \Delta z \,  ;


 \chi_T = \frac{1}{\rho^2.g} \frac{\Delta \rho}{\Delta z} .


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