Statique des fluides/Équation fondamentale

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Notion de pression

Définition

La paroi (plus généralement une interface entre deux fluides) est soumise à une force normale dite force de pression. Cette force de pression est due aux chocs entre la paroi et les molécules du fluide, mais aussi aux interactions attractives (Van der Waals) entre les molécules des différents milieux.

On a donc une force :

$\mathrm {d} \mathbf {F} _{1\rightarrow 2}=-p(M)\mathrm {d} S\cdot \mathbf {N} _{2\rightarrow 1}$

où p(M) est la pression locale du fluide en M.

En mécanique des fluides (plus généralement en thermodynamique), on oriente les normales vers l’extérieur de la surface. Évidemment seulement lorsqu’il est possible de définir un extérieur, ce qui n’est pas le cas ici.

Forces volumiques de pression

Il est ainsi possible de calculer la résultante des forces de pression.

On a la formule :

$\mathrm {d} \mathbf {F} _{p}=-(\mathbf {grad} \,p)\cdot \mathrm {d} V$

Cela se démontre de deux façons :

Début d'une démonstration

Démonstration

Considérons une surface fermée :

$\mathbf {F} _{p}=\iint -p(M)\mathrm {d} S$

Le produit scalaire avec un vecteur $\mathbf {a}$ uniforme donne :

$\mathbf {F} _{p}\cdot \mathbf {a} =\iint -p(M)\mathbf {a} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =-\iiint \mathrm {div} \left(p\mathbf {a} \right)\mathrm {d} V$

Or on a :

$\mathrm {div} (p\mathbf {a} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {grad} \,p+p\,\mathrm {div} \,\mathbf {a}$

mais $\mathrm {div} \,\mathbf {a} =0$ car $\mathbf {a}$ est uniforme ! On a donc :

$\mathbf {F} _{p}\cdot \mathbf {a} =-\iiint \mathbf {a} \cdot (\mathbf {grad} \,p)\cdot \mathrm {d} V$

mais comme $\mathbf {a}$ est quelconque :

$\mathbf {F} _{p}=-\iiint (\mathbf {grad} \,p)\cdot \mathrm {d} V$

Au final, localement, on a : $\mathrm {d} \mathbf {F} _{p}=-(\mathbf {grad} \,p)\cdot \mathrm {d} V$.

Fin de la démonstration

Début d'une démonstration

Démonstration

Considérons un volume élémentaire parallélépipédique de fluide de dimensions dx, dy et dz suivant les axes cartésiens (orientés comme sur le schéma). On cherche la condition d'équilibre de ce système, on veut donc appliquer le principe fondamental de la statique. Ce système est soumis à l'action de son poids, $\mathbf {F} _{g}=-mg\mathbf {z}$, et à l'action de pression sur chacune de ses parois :

• $\mathbf {F} _{p}.\mathbf {x} =(P(x_{0},y_{0},z_{0})-P(x_{0}+dx,y_{0},z_{0}))dydz$
• $\mathbf {F} _{p}.\mathbf {y} =(P(x_{0},y_{0},z_{0})-P(x_{0},y_{0}+dy,z_{0}))dxdz$
• $\mathbf {F} _{p}.\mathbf {z} =(P(x_{0},y_{0},z_{0})-P(x_{0},y_{0},z_{0}+dz))dxdy$

Le principe fondamental de la statique s'écrit alors : ...

Fin de la démonstration