Statique des fluides/Équation fondamentale

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**Équation fondamentale**
Leçon : Statique des fluides

Chapitre 1
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Statique des fluides/Équation fondamentale », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Notion de pression

[modifier] Définition

La paroi (plus généralement une interface entre deux fluides) est soumise à une force normale dite force de pression. Cette force de pression est due aux chocs entre la paroi et les molécules du fluide, mais aussi aux interactions attractives (Van der Waals) entre les molécules des différents milieux.

On a donc une force :

$\mathrm d \mathbf F_{1\rightarrow 2} = -p(M) \mathrm dS \cdot \mathbf N_{2\rightarrow 1}$

où p(M) est la pression locale du fluide en M.

Attention : en mécanique des fluides (plus généralement en thermodynamique), on oriente les normales vers l’extérieur de la surface. Évidemment seulement lorsqu'il est possible de définir un extérieur, ce qui n'est pas le cas ici.

[modifier] Forces volumiques de pression

Il est ainsi possible de calculer la résultante des forces de pression.

On a la formule :

$\mathrm d \mathbf F_p = - (\mathbf{grad}\, p) \cdot \mathrm dV$

Cela se démontre de deux façons :

Démonstration avec les outils d'algèbre vectorielle

Considérons une surface fermée :

$\mathbf F_p = \iint -p(M) \mathrm d S$

Le produit scalaire avec un vecteur $\mathbf a$ uniforme donne :

$\mathbf F_p \cdot \mathbf a = \iint -p(M) \mathbf a \cdot \mathrm d \mathbf S = \iiint \mathrm{div} \left (p \mathbf a \right) \mathrm dV$

Or on a :

$\mathrm{div} (p \mathbf a) = \mathbf a \cdot \mathbf{grad} \,p + p \, \mathrm{div}\, \mathbf{a}$

mais $\mathrm{div}\, \mathbf a = 0$ car $\mathbf a$ est uniforme ! On a donc :

$\mathbf F_p \cdot \mathbf a = - \iiint \mathbf a \cdot (\mathbf{grad} \,p) \cdot \mathrm dV$

mais comme $\mathbf a$ est quelconque :

$\mathbf F_p = - \iiint (\mathbf{grad}\, p) \cdot \mathrm dV$

Au final, localement, on a : $\mathrm d \mathbf F_p = - (\mathbf{grad}\,p) \cdot \mathrm dV$ .

Démonstration sans les outils d'algèbre vectorielle

Considérons un volume élémentaire parallélépipédique de fluide de dimensions dx, dy et dz suivant les axes cartésiens (orientés comme sur le schéma). On cherche la condition d'équilibre de ce système, on veut donc appliquer le principe fondamental de la statique. Ce système est soumis à l'action de son poids, $\mathbf F_g = - mg \mathbf z$ , et à l'action de pression sur chacune de ses parois :

$\mathbf F_p . \mathbf x = (P(x_0, y_0, z_0) - P(x_0 + dx, y_0, z_0))dydz$
$\mathbf F_p . \mathbf y = (P(x_0, y_0, z_0) - P(x_0, y_0 + dy, z_0))dxdz$
$\mathbf F_p . \mathbf z = (P(x_0, y_0, z_0) - P(x_0, y_0, z_0 + dz))dxdy$

Le principe fondamental de la statique s'écrit alors : ...

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