Série numérique/Exercices/Cosinus et sinus

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**Cosinus et sinus**
Leçon : Série numérique

Exercice 1

Cet exercice est de niveau 13.

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Série numérique/Exercices/Cosinus et sinus », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Question 1

En remarquant que pour tout réel $x ,\ \cos(kx) + i\ \sin(kx) = e^{ikx}$ , calculer pour tout $n \in \mathbb{N}$ et tout $x \in \mathbb{R}\setminus \{2k \pi, k \in \mathbb{Z}\}$

$A_n = \sum_{k=0}^n \cos(kx)$ et $B_n = \sum_{k=0}^n \sin(kx)$

Solution

$\cos(kx) = \Re(e^{ikx}),\ i \in \mathbb{C}$

$A_n = \sum_{k=0}^n \cos(kx) = \sum_{k=0}^n \Re(e^{ikx}) = \Re \left(\sum_{k=0}^n (e^{ix})^k\right) = \Re \left( \frac{1 - (e^{ix})^{n+1}}{1 - e^{ix}} \right)$

Or, on a $\cos(x) = \tfrac{1}{2} (e^{ix}+e^{-ix})$ ainsi que $\sin(x) = \tfrac{1}{2i} (e^{ix}-e^{-ix})$

Le principe est de factoriser $1 - e i x$ afin de mieux manipuler l'expression du numérateur ci-dessus.

$\begin{align} 1 - e^{ix}& = e^{i \tfrac{x}{2}}(e^{-i \tfrac{x}{2}} - e^{i \tfrac{x}{2}})\\ & = -e^{i \tfrac{x}{2}}(e^{i \tfrac{x}{2}} - e^{-i \tfrac{x}{2}})\\ & = -e^{i \tfrac{x}{2}}(2i)\sin(\tfrac{x}{2})\\ \end{align}$

De la même façon, on factorise le numérateur :

$\begin{align} 1 - (e^{ix})^{n+1} & = 1 - e^{i(n+1)x}\\ & = e^{i(n+1)\tfrac{x}{2}}(e^{-i(n+1)\tfrac{x}{2}} - e^{i(n+1)\tfrac{x}{2}})\\ & = -e^{i(n+1)\tfrac{x}{2}}(2i)\sin((n+1)\tfrac{x}{2})\\ \end{align}$

On peut donc calculer la partie réelle (les signes moins s'annulent):

$=\Re \left( \frac{e^{i(n+1)\tfrac{x}{2}}(2i)\sin((n+1)\tfrac{x}{2})}{e^{i \tfrac{x}{2}}(2i)\sin(\tfrac{x}{2})} \right)$

On supprime (2i) aisément. Occupons-nous de supprimer les dernières exponentielles : on développe

$e^{i(n+1)\tfrac{x}{2}} = e^{in\frac{x}{2}}e^{i\frac{x}{2}}$

Et en remarquant qu'en multipliant le dénominateur et le numérateur par $e^{-i\frac{x}{2}}$ , le calcul devient alors :

$=\Re \left( e^{in\tfrac{x}{2}}\right) \frac{\sin((n+1)\tfrac{x}{2})}{\sin(\tfrac{x}{2})}$

Ce qui nous permet donc de conclure par

$= \cos(n \tfrac{x}{2}) \frac{\sin((n+1)\tfrac{x}{2})}{\sin(\tfrac{x}{2})}$

Pour $B n$ le calcul est quasiment le même. Cette fois-ci on s'intéresse à la partie imaginaire et non à la partie réelle de l'exponentielle. Au final,

$B_n = \sin(n \tfrac{x}{2}) \frac{\sin((n+1)\tfrac{x}{2})}{\sin(\tfrac{x}{2})}$

[modifier] Question 2

De manière semblable, calculer les sommes suivantes où a, b et x sont des réels :

$\sum_{k=0}^n \cos(a+kb)$

Solution

Si $b \notin \{2l \pi, l \in \mathbb{Z}\}$

$\sum_{k=0}^n \cos(a+kb) = \cos(a + n \tfrac{b}{2}) \frac{\sin((n+1)\tfrac{b}{2})}{\sin(\tfrac{b}{2})}$

Si $b = 2l \pi, l \in \mathbb{Z}$

$\sum_{k=0}^n \cos(a+kb) = \sum_{k=0}^n \cos(a+2\underbrace{kl}_{\in\ \mathbb{Z}}\pi) = \sum_{k=0}^n \cos(a) = \cos(a)(n+1)$

$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos(a+kb)$

Solution

Comme $cos(a + k b) = cos(a)cos(k b) - sin(a)sin(k b)$ , il vient :

$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos(a+kb) = \cos(a) \Re\left( \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} e^{ikb} \right) - \sin(a) \Im\left( \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} e^{ikb} \right)$

$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} e^{ikb} = (1 + e^{ib})^n = 2^n \cos^n\left(\frac b2 \right) e^{\frac{inb}2}$

$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos(a+kb) = 2^n \cos^n\left(\frac b2 \right) \left[\cos(a) \cos \left(\frac {nb}2 \right) - \sin(a) \sin \left(\frac {nb}2 \right) \right] = 2^n \cos^n\left(\frac b2 \right) \cos\left(a + \frac {nb}2 \right)$

$\sum_{k=0}^n k \binom{n}{k} e^{ikx}$

Série numérique/Exercices/Cosinus et sinus

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[modifier] Question 1

[modifier] Question 2

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