Série numérique/Définition

Une page de Wikiversité.

Série numérique/Définition est une ébauche concernant les mathématiques. Vous pouvez aider le projet Wikiversité en l'améliorant.

**Définition**
Leçon : Série numérique

Chapitre 3
Chap. préc. :	Rappels
Chap. suiv. :	Propriétés

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Série numérique : Définition
Série numérique/Définition », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Voyons ce qu'est formellement une Série convergente et les propriétés qui en découle directement.

[modifier] Convergence d'une série

Définition

$\sum_{k\ge0}{u_n}$ désigne la série de terme général $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ .

Elle converge lorsque la suite $(S_n)_{n\in\mathbb{N}}$ des sommes partielles converge, où pour tout entier naturel n,

$S_n=\sum_{k=0}^{n}{u_k}$

Dans ce cas la somme de la série est la limite de la suite des sommes partielles

$\sum_{k=0}^{+\infty} u_k = \lim_{n\to +\infty} S_n$

Remarque : Bien faire attention aux notations : $\sum_{k\ge0} u_n$ , $\sum_{k=0}^n u_k$ et $\sum_{k=0}^{+\infty} u_k$ désignent bien des choses différentes.

[modifier] Exemple

Considérons une suite géométrique $(u_n)\,$ de raison $q\,$ strictement positive.

La somme $S_n\,$ des n+1 premiers termes de $(u_n)\,$ est donnée par la formule :

$S_n=u_0 + u_{1} + \cdots + u_n =u_0\times \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$

Si $q<1\,$ alors $q^{n+1}\,$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers l'infini. Donc la suite $(S_n)\,$ admet une limite :

$\lim_{n \to +\infty}S_n = \frac{1}{1-q}$

la série de terme général $u_n\,$ converge et on peut écrire :

$\sum_{k=0}^{+\infty} u_k=\frac{1}{1-q}$

Si $q\ge1\,$ alors $q^{n+1}\,$ tend vers $+\infty$ quand $n$ tend vers l'infini. Donc la suite $(S_n)\,$ n'admet pas de limite finie :

$\lim_{n \to +\infty}S_n = +\infty$

la série de terme général $u_n\,$ diverge.

[modifier] Condition nécessaire de convergence

Si la série $\sum_{n \ge 0} u_n$ est convergente, alors la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}\,$ converge vers 0 puisque $\forall n \geq 1, \qquad u_n=S_n-S_{n-1}$

Lorsque le terme général d'une série ne tend pas vers 0, celle-ci est dite trivialement ou grossièrement divergente.

Attention : la réciproque est fausse. Prenons la série harmonique $\sum_{n \ge 0} \frac{1}{n}$ comme contre-exemple. C'est une série dont le terme général tend vers 0, pourtant elle est divergente. Voir l'exercice 4 : Série harmonique

[modifier] Critère de Cauchy

[modifier] Opérations et nature des séries

Série numérique/Définition

Une page de Wikiversité.

Sommaire

[modifier] Convergence d'une série

[modifier] Exemple

[modifier] Condition nécessaire de convergence

[modifier] Critère de Cauchy

[modifier] Opérations et nature des séries

Affichages

Outils personnels

Rechercher

Navigation

Contribuer

Imprimer / exporter

Boîte à outils