Série et transformée de Fourier en physique/Annexes/Exemple1

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Exemple de série de Fourier
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Annexe 1
Leçon : Série et transformée de Fourier en physique
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Voici quelques exemples de décomposition en série de Fourier de signaux que l'on retrouve souvent en physique. Ces signaux sont :

  • Le créneau symétrique
  • Le triangulaire symétrique
  • le rectangulaire à paliers nuls

[modifier] Créneau symétrique

Signal creneau symetrique.svg

y(t)=\begin{cases} +Y_m, & \text{si }t \in ]0, \frac{T}{2}[ \\ -Y_m, & \text{si }t \in ]\frac{T}{2}, T[ \end{cases}

Démonstration

La fonction est impaire, donc il n'existe que les termes Ak

A_k = \frac{2}{T} \int_0^T y(t) \sin (k \omega t ) \mathrm dt

Posons θ = ωt avec ωT = 2π

A_k = \frac{2}{2 \pi} \left\{ \int_0^\pi Y_m \sin (k \theta ) \mathrm d \theta + \int_\pi^{2 \pi} -Y_m \sin (k \theta ) \mathrm d \theta \right\}

A_k = \frac{Y_m}{\pi} \left\{ \left[ \frac {- \cos (k \theta )}{k} \right]_O^\pi + \left[ \frac { \cos (k \theta )}{k} \right] _\pi^{2 \pi} \right\}

A_k = \frac{Y_m}{\pi} \left\{ \left[ \frac {- \cos (k \pi )}{k} - \frac {- \cos (0 k )}{k} \right] + \left[ \frac { \cos (2 k \pi )}{k} - \frac { \cos (k \pi )}{k} \right] \right\}

A_k = \frac{Y_m}{\pi} \left\{ \left[ \frac {- \cos (k \pi )}{k} - \frac {- \cos (0)}{k} \right] + \left[ \frac { \cos (2 k \pi )}{k} - \frac { \cos (k \pi )}{k} \right] \right\}

A_k = \frac{Y_m}{k \pi} \left[ - 2 \cos (k \pi ) + 1 + \cos (2 k \pi ) \right]


A_k = \frac{Y_m}{k \pi} \left[ - 2 \cos (k \pi ) + 2 \right]

A_k = \frac{2Y_m}{k \pi} \left[ - \cos (k \pi ) + 1 \right]

− cos(kπ) + 1 = 0 si cos(kπ) = 1 donc pour tout k pair

Il ne reste donc plus que les Ak lorsque k est impair, d'où le résultat final

A_{2k+1}=\frac{4Y_m}{\left( 2k+1 \right) \pi}
 

y(t) = \frac{4Y_m}{\pi} \left\{ \sin (\omega t) + \frac{1}{3} \sin (3 \omega t) + \ldots + \frac{1}{2k+1} \sin \left[ \left( 2k+1 \right) \omega t \right]+ \ldots \right\}

y(t) = \frac{4Y_m}{\pi} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2k+1} \sin \left[ \left( 2k+1 \right) \omega t \right]

Voila enfin un exemple en reprenant 9 rangs d'harmonique

Fourier d'un carré.svg

La courbe noire est la somme instantané des 5 courbes sinusoïdales

[modifier] Triangulaire symétrique

Triangle wave.svg

[modifier] Rectangulaire à paliers nuls

Defaut.svg

y(t)=\begin{cases} 0, & \text{si }t \in ]0, t_1[ \\ +Y_m, & \text{si }t \in ]t_1, \frac{T}{2}-t_1[ \\ 0, & \text{si }t \in ]\frac{T}{2}-t_1, \frac{T}{2}+t_1[ \\ -Y_m, & \text{si }t \in ]\frac{T}{2}+t_1, T-t_1[ \\ 0, & \text{si }t \in ]T-t_1, T[ \\ \end{cases}


Démonstration

A_k=\frac{2}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} { y \left( \theta \right) sin \left( k \theta \right) \mathrm d \theta }

A_k= \frac{2}{2 \pi} \left[ \int_{\alpha}^{\pi - \alpha} { Y_M sin \left( k \theta \right) \mathrm d \theta } + \int_{\pi + \alpha}^{2 \pi - \alpha} { - Y_M sin \left( k \theta \right) \mathrm d \theta } \right]

A_k= \frac{2 Y_M}{2 \pi} \left\{ \left[ \frac{- cos \left( k \theta \right) }{k} \right]_{ \alpha }^{ \pi - \alpha } + \left[ \frac{ cos \left( k \theta \right) }{k} \right]_{ \alpha + \pi }^{ 2 \pi - \alpha } \right\}

A_k= \frac{Y_M}{k \pi} \left[ -cos \left( k \pi - k \alpha \right) + cos \left( k \alpha \right) + cos \left( 2k \pi - k \alpha \right) - cos \left( k \pi + k \alpha \right) \right]

A_k= \frac{Y_M}{k \pi} \left[ \begin{matrix} -cos \left( k \pi \right) cos \left( k \alpha \right) - sin \left( k \pi \right) sin \left( k \alpha \right) \\ + cos \left( k \alpha \right) \\ + cos \left( 2k \pi \right) cos \left( k \alpha \right) + sin \left( 2k \pi \right) sin \left( k \alpha \right) \\ - cos \left( 2k \pi \right) cos \left( k \alpha \right) + sin \left( 2k \pi \right) sin \left( k \alpha \right) \end{matrix} \right]

A_k= \frac{Y_M}{k \pi} \left[ -cos \left( k \pi \right) cos \left( k \alpha \right) + cos \left( k \alpha \right) \right]

Pour tout k pair, Ak est nul, il ne reste donc plus de les k impairs

A_{2k+1} = \frac{2Y_m}{\pi} \frac{1}{2k+1} \left[ cos \left( 2k+1 \right) \alpha \right]

A_{2k+1} = \frac{4Y_m}{\pi} \frac{1}{2k+1} \left[ cos \left( 2k+1 \right) \alpha \right]
Nuvola apps important.svg la fin de la démonstration montre une possible erreur, soit dans les calculs, soit dans le résultats final. Donc tant que ce cadre existe, les informations de cette démonstraton sont à vérifer
 
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