Série entière/Série géométrique

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**Série géométrique**
Leçon : Série entière

Chapitre 6
Chap. préc. :	Fonction exponentielle
Chap. suiv. :	Séries entières usuelles

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Série entière/Série géométrique », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Somme d'une suite géométrique

Considérons une suite géométrique $(u_n)\,$ de raison $x\,$ .

La somme $S_n(x)\,$ des n+1 premiers termes de $(x^n)\,$ est donnée par la formule :

$S_n(x)=x^0 + x^1 + \cdots + x^n =\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$

Si $\left|x\right|<1\,$ alors $x^{n+1}\,$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers l'infini. Donc la suite $(S_n(x))\,$ admet une limite :

$\lim_{n \to +\infty}S_n(x) = \frac{1}{1-x}$

la série de terme général $u_n\,$ converge et on peut écrire :

$\sum_{k=0}^{+\infty} x^k=\frac{1}{1-x}$

Si $\left|x\right|>1\,$ alors $x^{n+1}\,$ tend vers $+\infty$ quand $n$ tend vers l'infini. Donc la suite $(S_n(x))\,$ n'admet pas de limite finie :

$\lim_{n \to +\infty}S_n(x) = +\infty$

la série de terme général $u_n\,$ diverge.

Série entière/Série géométrique

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[modifier] Somme d'une suite géométrique

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