Série entière/Exercices/Polynômes

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Polynômes
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Exercice 3
Leçon : Série entière

Cet exercice est de niveau 14.
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Série entière/Exercices/Polynômes  », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Question 1

Soit la suite (a_n)_{n\ge 0} définie par a_0=a_1=1\, et \forall n \ge 2, a_n=2a_{n-1}-a_{n-2}+2^{n-2}.

1. Posons A(X)=\sum_{n\ge 0}a_n X^n. Montrer que A vérifie A(X)=1-X+(2X-X^2)A(X)+\frac{X^2}{1-2X}
2. En utilisant les techniques de décomposition en éléments simples, qui donnent des égalités correctes dans le cadre des séries formelles, montrer que : A(X) = \frac{1}{1-2X} + \frac{1}{1-X} - \frac{1}{(1-X)^2}.
3. En déduire une expression explicite de a_n\,.
4. Vérifier le résultat précédent pour 0 \le n \le 3.
Solution

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[modifier] Question 2

Reprendre la méthode précédente pour déterminer l'expression explicite du terme général de la suite (g_n)_{n \ge 0} définie par g_0=g_1=1\, et \forall n \ge 2,\ g_n=g_{n-1}+2g_{n-2}+(-1)^n.

Solution

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