Série numérique/Rappels

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Définition

$\sum _{i=m}^{n}a_{i}$ désigne la somme $a_{m}+a_{m+1}+...+a_{n-1}+a_{n}$.

Linéarité de la série numérique

$\sum _{i=m}^{n}(a_{i}+b_{i})=\sum _{i=m}^{n}a_{i}+\sum _{i=m}^{n}b_{i}$

$\sum _{i=m}^{n}\lambda (a_{i})=\lambda \left(\sum _{i=m}^{n}a_{i}\right)$

Produit et distributivité

$\left(\sum _{i=m}^{n}a_{i}\right)\left(\sum _{j=p}^{q}b_{j}\right)=\sum _{i=m}^{n}\left(\sum _{j=p}^{q}(a_{i}b_{j})\right)=\sum _{j=p}^{q}\left(\sum _{i=m}^{n}(a_{i}b_{j})\right)$

Découpage

$\sum _{i=m}^{p}a_{i}=\sum _{i=m}^{n-1}a_{i}+\sum _{i=n}^{p}a_{i}=\sum _{i=m}^{n}a_{i}+\sum _{i=n+1}^{p}a_{i}$ avec $m\leq n\leq p$.

On a donc :

$\sum _{i=m}^{n}a_{i}+\sum _{i=n}^{p}a_{i}=\sum _{i=m}^{p}a_{i}+a_{n}\neq \sum _{i=m}^{p}a_{i}$

Inégalité de Cauchy-Schwarz

$\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}(a_{i})^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}(b_{i})^{2}\right)$