Recherche:Nombres, suites et séries générées par les équations diophantiennes et leurs applications

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Sommaire

[modifier] Résumé

Notre propos dans cet article qui a fait l'objet d'une publication est de montrer combien les équations diophantiennes sont riches en applications analytiques. En effet, ces équations permettent de construire de surprenants suites, séries et nombres. La question de la démonstration de certains théorèmes demeure comme nous le verrons. Nous ferons aussi allusion aux fameux nombres de Fermat (2^{2^n}) pour constater qu'ils sont des cas particuliers de nombres bien plus généraux. Nous verrons combien ce problème de la démonstration demeure actuel et comment il peut être résolu en utilisant ces suites, séries et nombres.

[modifier] Les suites

Soit l'équation de Fermat (E) pour commencer, c'est

Un = Xn + Yn

avec PGCD(X,Y)=1

Posons

u = U2n

x = UnXn

y = UnYn

z = XnYn

alors

u=U^{2n}=U^n(X^n+Y^n)=x+y\quad\quad{(1)}

et

\frac{1}{z}=\frac{1}{X^nY^n}=\frac{U^{2n}}{U^nX^nU^nY^n}=\frac{u}{xy}=\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\quad\quad{(2)}

Si U, X, Y, n sont des entiers vérifiant (E), alors u, x, y, z tels que définis vérifient

[modifier] LEMME 1

u=x+y\quad\quad{(1)}

\frac{1}{z}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\quad\quad{(2)}

D'abord

z = XnYn

u = (Xn + Yn)2

x = Xn(Xn + Yn)

y = Yn(Xn + Yn)

Posons

x1 = x

et

y1 = y

or

\forall{x_1,y_1}

\exists{z_1}

vérifiant

\frac{1}{z_1}=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{y_1}

et

z_1=\frac{xy}{x+y}=z

donc

(x1 + y1)z1 = x1y1

ou

x1(y1 − z1) = z1y1

Posons

y_2=y_1-z_1=\frac{z_1y_1}{x_1}

et

y1(x1 − z1) = z1x1

également

x_2=x_1-z_1=\frac{z_1x_1}{y_1}

et

x_2y_2=z_1^{2}

ce qui signifie

x_1=x_2+z_1=x_2+\sqrt{x_2y_2}

et

y_1=y_2+z_1=y_2+\sqrt{x_2y_2}

et

u_1=u=(x_1+y_1)=(\sqrt{x_2}+\sqrt{y_2})^2>x_2+y_2>0

(x1 + y1) est un entier

x_1=\sqrt{x_2}(\sqrt{x_2}+\sqrt{y_2})>x_2>0

x1 est un entier

y_1=\sqrt{y_2}(\sqrt{x_2}+\sqrt{y_2})>y_2>0

y1 est un entier

z_1=\frac{x_1y_1}{x_1+y_1}=X^aY^b=\sqrt{x_2y_2}>z_2=\frac{x_2y_2}{x_2+y_2}>0

z2 est rationnel, car

\forall{x_2,y_2} rationnels

\exists{z_2} rationnel vérifiant

\frac{1}{z_2}=\frac{1}{x_2}+\frac{1}{y_2}

jusqu'à l'infini. A l'ordre i

(x_i+y_i)=(\sqrt{x_{i+1}}+\sqrt{y_{i+1}})^2>x_{i+1}+y_{i+1}>0

xi + yi est rationnel pour i>1

x_i=\sqrt{x_{i+1}}(\sqrt{x_{i+1}}+\sqrt{y_{i+1}})>x_{i+1}>0

xi est rationnel pour i>1

y_i=\sqrt{y_{i+1}}(\sqrt{x_{i+1}}+\sqrt{y_{i+1}})>y_{i+1}>0

yi est rationnel pour i>1

z_i=\frac{x_iy_i}{x_i+y_i}=\sqrt{x_{i+1}y_{i+1}}>z_{i+1}=\frac{x_{i+1}y_{i+1}}{x_{i+1}+y_{i+1}}>0

zi est rationnel pour i>1, et

\frac{1}{z_{i+1}}=\frac{1}{x_{i+1}}+\frac{1}{y_{i+1}}

(x_i+y_i)=(\sqrt{x_{i+1}}+\sqrt{y_{i+1}})^2

[modifier] LEMME 2

xi and yi ont pour expressions

x_i=x^{{2^{i-1}}}\prod_{j=0}^{j={i-2}}{(x^{{2^j}}+y^{{2^j}})^{-1}}\quad\quad{(H)}

y_i=y^{{2^{i-1}}}\prod_{j=0}^{j={i-2}}{(x^{{2^j}}+y^{{2^j}})^{-1}}\quad\quad{(H')}

[modifier] Preuve du lemme 2

Par récurrence

x=\sqrt{x_2}(\sqrt{x_2}+\sqrt{y_2})=\sqrt{x_2}(x+y)^{\frac{1}{2}}

x_2=\frac{x^{2}}{x+y}

mais aussi

y_2=\frac{y^{2}}{x+y}

c'est donc vérifié pour i=2. Supposons (H) et (H') vraies pour i, alors

x_i=\sqrt{x_{i+1}}(\sqrt{x_{i+1}}+\sqrt{y_{i+1}})=\sqrt{x_{i+1}}(x_i+y_i)^{\frac{1}{2}}

et

x_{i+1}=x_i^{2}{(x_i+y_i)}^{-1}

or (H) et (H'), donc

x_{i+1}=x^{{2^i}}\prod_{j=0}^{j=i-2}{(x^{{2^j}}+y^{{2^j}})^{-2}}(x^{2^{i-1}}+y^{2^{i-1}})^{-1}\prod_{j=0}^{j={i-2}}{(x^{{2^j}}+y^{{2^j}})}

=x^{{2^i}}\prod_{j=0}^{j={i-1}}{(x^{{2^j}}+y^{{2^j}})^{-1}}

et c'est vrai pour i+1, de même pour yi

xi et yi peuvent s'écrire comme suit

x_i=x^{2^{i-1}}\prod_{j=0}^{j=i-2}{(x^{{2^j}}+y^{{2^j}})^{-1}}

y_i=y^{2^{i-1}}\prod_{j=0}^{j=i-2}{(x^{{2^j}}+y^{{2^j}})^{-1}}

\forall{i>1}

mais, \forall{a,b}

a-b=(a^{2^{i-1}}-b^{2^{i-1}})\prod_{j=0}^{j={i-2}}{(a^{2^j}+b^{2^j})^{-1}}\quad\quad{(E)}

x-y=(x^{{2^{i-1}}}-y^{{2^{i-1}}})\prod_{j=0}^{j={i-2}}{(x^{{2^j}}+y^{{2^j}})^{-1}}\quad\quad{(E')}

\prod_{j=0}^{j={i-2}}{(x^{{2^j}}+y^{{2^j}})}=\frac{(x^{{2^{i-1}}}-y^{{2^{i-1}}})}{x-y}

les expressions des suites deviennent, pour

x\neq{y}

ou

x_i\neq{y_i}

[modifier] LEMME 3

x_i=\frac{x^{{2^{i-1}}}}{x^{{2^{i-1}}}-y^{{2^{i-1}}}}(x-y)

=U^n\frac{X^{n{2^{i-1}}}}{X^{n{2^{i-1}}}-Y^{n{2^{i-1}}}}(X^n-Y^n)

et

y_i=\frac{y^{{2^{i-1}}}}{x^{{2^{i-1}}}-y^{{2^{i-1}}}}(x-y)

=U^n\frac{Y^{n{2^{i-1}}}}{X^{n{2^{i-1}}}-Y^{n{2^{i-1}}}}(X^n-Y^n)

u_i=x_i+y_i=U^n\frac{X^{n{2^{i-1}}}+Y^{n{2^{i-1}}}}{X^{n{2^{i-1}}}-Y^{n{2^{i-1}}}}(X^n-Y^n)


[modifier] LEMME 4

Les équations (1) et (2) ont une constante

xi − yi = x − y

[modifier] LEMME 5

La seule solution des équations (1) et (2) est

xy(x − y) = 0

[modifier] Preuve du lemme 5

Comme

x_i=\frac{x^{{2^{i-1}}}}{x^{{2^{i-1}}}-y^{{2^{i-1}}}}(x-y)

et

y_i=\frac{y^{{2^{i-1}}}}{x^{{2^{i-1}}}-y^{{2^{i-1}}}}(x-y)

si

x>y\Rightarrow{\lim_{i\longrightarrow{\infty}}{(x_i)}=x-y,\quad\quad{\lim_{i\longrightarrow{\infty}}{(y_i)}=0}}

et

y>x\Rightarrow{\lim_{i\longrightarrow{\infty}}{(y_i)}=y-x,\quad\quad{\lim_{i\longrightarrow{\infty}}{(x_i)}=0}}

Nous verrons dans les séries des preuves, car il y a de nombreuses preuves que xy(x − y) = 0 est la solution. Récapitulons

x_i>x_{i+1},\quad{y_i>y_{i+1}}\Rightarrow{x=y}

x_i=x_{i+1}=x_{i+1}+\sqrt{x_{i+1}y_{i+1}}\Rightarrow{xy=0}

y_i=y_{i+1}=y_{i+1}+\sqrt{x_{i+1}y_{i+1}}\Rightarrow{xy=0}

\Rightarrow{xy(x-y)=0}

x et y ne peuvent être différents, l'hypothèse initiale est fausse donc la seule solution est bien

xy(x − y) = 0

[modifier] Les séries

Comme déjà vu

\sqrt{x_iy_i}=y_{i-1}-y_i=x_{i-1}-x_i

nous en déduisons

x_i-x_{i+1}=\sqrt{x_{i+1}y_{i+1}}

x_{i-1}-x_i=\sqrt{x_iy_i}


x_1-x_2=x-x_2=\sqrt{x_2y_2}

donc

\sum_{j=2}^{j=i+1}{(\sqrt{x_jy_j})}=x-x_2+x_2-x_3+...+x_i-x_{i+1}=x-x_{i+1}

et

\sum_{j=2}^{j=\infty}{(\sqrt{x_jy_j})}=\lim_{i\longrightarrow{\infty}}{(x-x_{i+1})}

si x > y

\sum_{j=2}^{j=\infty}{(\sqrt{x_jy_j})}=\lim_{i\longrightarrow{\infty}}{(x-x_{i+1})}=x-(x-y)=y

si x < y

\sum_{j=2}^{j=\infty}{(\sqrt{x_jy_j})}=\lim_{i\longrightarrow{\infty}}{(x-x_{i+1})}=x


[modifier] Les applications des séries

\sum_{j=2}^{j=i}{((-1)^j\sqrt{x_jy_j})}=x-x_2-(x_2-x_3)+(x_3-x_4)-...+(-1)^i(x_{i-1}-x_i)

= x − 2x2 + 2x3 − ... + 2( − 1)i − 1xi − 1 + ( − 1)i + 1xi

=2\sum_{j=2}^{j=i-1}{((-1)^{j+1}x_j)}+x+(-1)^{i+1}x_i

=2\sum_{j=1}^{j=i}{((-1)^{j+1}x_j)}-x-(-1)^{i+1}x_i

=\sum_{j=2}^{j=i-1}{((-1)^{j+1}x_j)}+\sum_{j=1}^{j=i}{((-1)^{j+1}x_j)}

=2\sum_{j=2}^{j=i-1}{((-1)^{j+1}y_j)}+y+(-1)^{i+1}y_i

=2\sum_{j=1}^{j=i}{((-1)^{j+1}y_j)}-y-(-1)^{i+1}y_i

=\sum_{j=2}^{j=i-1}{((-1)^{j+1}y_j)}+\sum_{j=1}^{j=i}{((-1)^{j+1}y_j)}

ou

2\sum_{j=1}^{j=i}{((-1)^{j+1}x_j)}=\sum_{j=2}^{j=i}{((-1)^j\sqrt{x_jy_j})}+x+(-1)^{i+1}x_i

et

2\sum_{j=1}^{j=i}{((-1)^{j+1}y_j)}=\sum_{j=2}^{j=i}{((-1)^j\sqrt{x_jy_j})}+y+(-1)^{i+1}y_i

Comme nous ne pouvons connaître la limite de ( − 1)i + 1xi, alors

\sum_{j=1}^{j=\infty}{((-1)^{j}x_j)}

peut diverger. Or

\sum_{j=2}^{j=\infty}{((-1)^j\sqrt{x_jy_j})}

est convergente.

De même, sachant que yi tend vers zéro à l'infini, nous pouvons dire que

\sum_{j=1}^{j=\infty}{((-1)^{j}y_j)}

est convergente. La limite de

\sum_{j=2}^{j=i}{((-1)^j\sqrt{x_jy_j})}=2\sum_{j=1}^{j=i}{((-1)^{j+1}y_j)}-y-(-1)^{i+1}y_i

=2\sum_{j=1}^{j=i}{((-1)^{j+1}x_j)}-x-(-1)^{i+1}x_i

existe et les séries convergent. Cela prouve que pour x et y entiers et pour des conditions portant sur les exposants comme n\geq{3} pour Fermat :

\lim_{i\longrightarrow{\infty}}{(x_i)}=x-y=0

C'est confirmé par le fait que le terme général des séries tend vers zero. En voici deux preuves. Soit

\lim_{m\longrightarrow{\infty}}{(\sum_{k=1}^{k=m}{(\sqrt{x_{2k}y_{2k}}e^{-\frac{2k}{\sqrt{2m}}})})}=\lim_{m\longrightarrow{\infty}}{(\sum_{k=1}^{k=m}{((x_{2k-1}-x_{2k})e^{-\frac{2k}{\sqrt{2m}}})})}

=\lim_{m\longrightarrow{\infty}}{(\sum_{k=1}^{k=m}{(x_{2k-1}e^{-\frac{2k}{\sqrt{2m}}})}-\sum_{k=1}^{k=m}{(x_{2k}e^{-\frac{2k}{\sqrt{2m}}})})}

=\lim_{m\longrightarrow{\infty}}{(e^{-\frac{1}{\sqrt{2m}}}\sum_{k=1}^{k=m}{(x_{2k-1}e^{-\frac{2k-1}{\sqrt{2m}}})}-\sum_{k=1}^{k=m}{(x_{2k}e^{-\frac{2k}{\sqrt{2m}}})})}

=\lim_{m\longrightarrow{\infty}}{(\sum_{k=1}^{k=m}{(x_{2k-1}e^{-\frac{2k-1}{\sqrt{2m}}})}-\sum_{k=1}^{k=m}{(x_{2k}e^{-\frac{2k}{\sqrt{2m}}})})}

=\lim_{m\longrightarrow{\infty}}{(\sum_{k=1}^{k=2m}{((-1)^{k+1}x_ke^{-\frac{k}{\sqrt{2m}}})})}

=\lim_{m\longrightarrow{\infty}}{(\sum_{k=1}^{k=m}{((y_{2k-1}-y_{2k})e^{-\frac{2k}{\sqrt{2m}}})})}=\lim_{m\longrightarrow{\infty}}{(\sum_{k=1}^{k=m}{(y_{2k-1}e^{-\frac{2k}{\sqrt{2m}}})}-\sum_{k=1}^{k=m}{(y_{2k}e^{-\frac{2k}{\sqrt{2m}}})})}

=\lim_{m\longrightarrow{\infty}}{(e^{-\frac{1}{\sqrt{2m}}}\sum_{k=1}^{k=m}{(y_{2k-1}e^{-\frac{2k-1}{\sqrt{2m}}})}-\sum_{k=1}^{k=m}{(y_{2k}e^{-\frac{2k}{\sqrt{2m}}})})}

=\lim_{m\longrightarrow{\infty}}{(\sum_{k=1}^{k=m}{(y_{2k-1}e^{-\frac{2k-1}{\sqrt{2m}}})}-\sum_{k=1}^{k=m}{(y_{2k}e^{-\frac{2k}{\sqrt{2m}}})})}=\lim_{m\longrightarrow{\infty}}{(\sum_{k=1}^{k=2m}{((-1)^{k+1}y_ke^{-\frac{k}{\sqrt{2m}}})})}

\Rightarrow{\lim_{m\longrightarrow{\infty}}{(\sum_{k=1}^{k=2m}{((-1)^{k+1}(x_k-y_k)e^{-\frac{k}{\sqrt{2m}}})})}=0}

=\lim_{m\longrightarrow{\infty}}{(\sum_{k=1}^{k=2m}{((-1)^{k+1}(x-y)e^{-\frac{k}{\sqrt{2m}}})})}=0=(x-y)\lim_{m\longrightarrow{\infty}}{(\sum_{k=1}^{k=2m}{((-1)^{k+1}e^{-\frac{k}{\sqrt{2m}}})})}=0

=(x-y)\lim_{m\longrightarrow{\infty}}{(e^{-\frac{1}{\sqrt{2m}}}\sum_{k=0}^{k=2m-1}{((-1)^{k}e^{-\frac{k}{\sqrt{2m}}})})}=0

=(x-y)\lim_{m\longrightarrow{\infty}}{(\frac{1+(-1)^{2m-1}e^{-\sqrt{2m}}}{1+e^{-\frac{1}{\sqrt{2m}}}})}=0=(x-y)\frac{1}{2}=0\Rightarrow{x-y=0}

la seule solution est xy(x − y) = 0, xy = 0 si l'une au moins des suites xi ou yi est monotone

Voici une deuxième preuve. Soit

x_i(t)=\sum_{k=2}^{k=i-1}{(x_ke^{-kt})}=\sum_{k=2}^{k=i}{(x_ke^{-kt})}-x_ie^{-it}={x'}_i(t)-x_ie^{-it}

y_i(t)=\sum_{k=2}^{k=i-1}{(y_ke^{-kt})}=\sum_{k=2}^{k=i}{(y_ke^{-kt})}-y_ie^{-it}={y'}_i(t)-y_ie^{-it}

u_i(t)=\sum_{k=2}^{k=i}{(\sqrt{x_ky_k}e^{-kt})}=\sum_{k=2}^{k=i-1}{((x_{k-1}-x_k)e^{-kt})}

= xe − 2t + x2( − e − 2t + e − 3t) + x3( − e − 3t + e − 4t) + ... + xi − 1( − e − (i − 1)t + e − it) − xie − it

= xe − 2t + x2e − 2t( − 1 + e − t) + x3e − 3t( − 1 + e − t) + ... + xi − 1e − (i − 1)t( − 1 + e − t) − xie − it

= xe − 2t − xie − it + ( − 1 + e − t)(x2e − 2t + x3e − 3t + ... + xie − (i − 1)t)

= xe − 2t − xie − it + ( − 1 + e − t)xi(t) = xe − 2t − xie − it + ( − 1 + e − t)x'i(t) − ( − 1 + e − t)xie − it = xe − 2t − xie − (i + 1)t + ( − 1 + e − t)x'i(t)

soit

t=\frac{1}{\sqrt{i}}\Rightarrow{\lim_{i\longrightarrow{\infty}}{(u_i(\frac{1}{\sqrt{i}}))}=\lim_{i\longrightarrow{\infty}}{(\sum_{k=2}^{k=i}{(\sqrt{x_ky_k}e^{-\frac{k}{\sqrt{i}}})})}}=\lim_{i\longrightarrow{\infty}}{(\sum_{k=2}^{k=i}{(\sqrt{x_ky_k})})}=y

=x+\lim_{i\longrightarrow{\infty}}{((-1+e^{-\frac{1}{\sqrt{i}}})\sum_{k=2}^{k=i-1}{(x_ke^{-\frac{k}{\sqrt{i}}})}-x_ie^{-\sqrt{i}})}=x

=y+\lim_{i\longrightarrow{\infty}}{((-1+e^{-\frac{1}{\sqrt{i}}})\sum_{k=2}^{k=i-1}{(y_ke^{-\frac{k}{\sqrt{i}}})}-y_ie^{-\sqrt{i}})}=y

Récapitulons

x_i>x_{i+1},\quad{y_i>y_{i+1}}\Rightarrow{x=y}

x_i=x_{i+1}=x_{i+1}+\sqrt{x_{i+1}y_{i+1}}\Rightarrow{xy=0}

y_i=y_{i+1}=y_{i+1}+\sqrt{x_{i+1}y_{i+1}}\Rightarrow{xy=0}

\Rightarrow{xy(x-y)=0}

est l'unique solution de (1) et (2). On pourrait s'étonner en remarquant que nous n'avons pas utilisé de condition portant sur n, car il y a des solutions pour n\leq{2}. Cela tient au théorème de Matiasevic qui énonce qu'il n'y a pas d'algorithme général de résolution d'une équation diophantienne. Or, nous en avons bien proposé un : il fallait donc qu'il y ait une impossibilité. Cette approche est donc une confirmation du théorème de Matiasevic et une preuve si l'on tient compte que l'algorithme tient pour n=1. L'approche est donc plus importante qu'elle n'en a l'air, elle répond à des problèmes d'une portée plus grande que le théorème de Fermat ou de Beal ou encore de Fermat-Catalan. Nous allons quand même essayer de l'utiliser pour démontrer ces théorèmes et conjectures. Les séries deviennent

\sum_{k=2}^{k={\infty}}{((-1)^k\sqrt{x_ky_k})}=\sum_{k=2}^{k={\infty}}{((-1)^kx_k)}=\sum_{k=2}^{k={\infty}}{((-1)^ky_k)}

= x2 − x3 + x4 − x5 + ...

=2\sum_{k=1}^{k={\infty}}{((-1)^{k+1}x_k)}-x=x-2x_2+2x_3-2x_4+...

=2\sum_{k=1}^{k={\infty}}{((-1)^{k+1}y_k)}-y=y-2y_2+2y_3-2y_4+...

\Rightarrow{3(x_2-x_3+x_4-x_5+...)=3\sum_{k=2}^{k={\infty}}{((-1)^kx_k)}=3\sum_{k=2}^{k={\infty}}{((-1)^ky_k)}=x=y}

\Rightarrow{x_2-x_3+x_4-x_5+...=\sum_{k=2}^{k={\infty}}{((-1)^kx_k)}=\sum_{k=2}^{k={\infty}}{((-1)^ky_k)}=\frac{x}{3}=\frac{y}{3}}

et

\sum_{k=2}^{k={\infty}}{(\sqrt{x_ky_k})}=\sum_{k=2}^{k={\infty}}{(x_k)}=\sum_{k=2}^{k={i}}{(y_k)}

= x2 + x3 + x4 + x5 + ... = y2 + y3 + y4 + y5 + ... = y = x

et

x_i=x^{2^{i-1}}\prod_{j=0}^{j=i-2}{(x^{{2^j}}+y^{{2^j}})^{-1}}=y_i

=x^{2^{i-1}}\prod_{j=0}^{j=i-2}{(2x^{2^j})^{-1}}=\frac{x^{2^{i-1}}}{2^{i-1}x^{2^{i-1}-1}}

=x_i=\frac{x}{2^{i-1}}=y_i=\frac{y}{2^{i-1}}

Ce dévelopment est en fait un test d'impossibilité. Les suites et séries sont une conséquence de l'équation de Fermat et des autres équations diophantiennes (Comme nous le verrons). Nous allons les utiliser pour démontrer ces théorèmes et conjectures sachant que le théorème de Fermat est démontré.

[modifier] Retour au lemme 5

Le lemme 5 est démontré et, par suite, le théorème est presque démontré ! La question qui se pose maintenant est :La question est : pourquoi y a-t-il des solutions pour n=2 ? La réponse est dans les formules. Il est important de noter pour n=1, il y des triviales solutions. Or, pour n=1, le lemme 3 autorise à écrire

x_i=\frac{x^{{2^{i-1}}}}{x^{{2^{i-1}}}-y^{{2^{i-1}}}}(x-y)=U\frac{X^{{2^{i-1}}}}{X^{{2^{i-1}}}-Y^{{2^{i-1}}}}(X-Y)

=U\frac{X^{2{2^{i-2}}}}{X^{2{2^{i-2}}}-Y^{2{2^{i-2}}}}(X-Y)

et

y_i=\frac{y^{{2^{i-1}}}}{x^{{2^{i-1}}}-y^{{2^{i-1}}}}(x-y)=U\frac{Y^{{2^{i-1}}}}{X^{{2^{i-1}}}-Y^{{2^{i-1}}}}(X-Y)

=U\frac{Y^{2{2^{i-2}}}}{X^{2{2^{i-2}}}-Y^{2{2^{i-2}}}}(X-Y)

et

u_i=x_i+y_i=U\frac{X^{2{2^{i-2}}}+Y^{2{2^{i-2}}}}{X^{2{2^{i-2}}}-Y^{2{2^{i-2}}}}(X-Y)=\frac{X^{2{2^{i-2}}}+Y^{2{2^{i-2}}}}{X^{2{2^{i-2}}}-Y^{2{2^{i-2}}}}(X^2-Y^2)

Ce sont les expression de u'i − 1, le ui − 1 de l'exposant 2.

Le cas n=1 conduit au cas n=2 et comme il y a des solutions pour n=1, il y en aura pour n=2 !

Pour n=4

u_i=x_i+y_i=\frac{X^{4{2^{i-3}}}+Y^{4{2^{i-3}}}}{X^{4{2^{i-3}}}-Y^{4{2^{i-3}}}}U(X-Y)

le cas n=4 est différent, dans cette formule l'exposant i-3 ne guarantit pas l'existence des suites si

i=2.

Donc, le cas n=2 est la seule exception. La seule solution pour n>2 est xy(x-y)=0, il n'y a pas de solution.

Une autre application est l'équation de Beal. C'est

Uc = Xa + Yb

PGCD(X,Y) = 1

Posons

u = U2c

x = UcXa

y = UcYb

z = XaYb

et

u = U2c = Uc(Xa + Yb) = x + y

et

\frac{1}{z}=\frac{1}{X^aY^b}=\frac{U^{2c}}{U^cX^aU^cY^b}=\frac{u}{xy}=\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}

c'est le lemme 1 et, avec

Uc = Xa + Yb

Les solutions sont

xy(x − y) = U2cXaYb(UcXa − UcYb) = 0

soit d'impossible solutions pour a>2 et b>2 et c>2.

Une autre application est l'équation suivante.

U^n=X_1^{n_1}+X_2^{n_2}+...+X_i^{n_i}

PGCD(X_j,X_k)=1;\forall{j,k,j\neq{k}}

Nous conjecturons et allons prouver qu'il n'y a pas de solutions pour n>i(i-1) et nj > i(i − 1), \forall{j\in\{1,2,...,i\}}.

[modifier] LEMME 6

La solution \forall{k\geq{2}} est

Xk = 0


[modifier] Preuve du lemme 6

Posons

u = U2n

x=U^nX_k^{n_k}

y=U^n(U^n-X_k^{n_k})

z=X_k^{n_k}(U^n-X_k^{n_k})

ou

u = x + y

et

\frac{1}{z}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}

c'est le lemme 1. Sa solution est

U=X_k=0;\forall{k\in{\{1,2,...,i\}}}

Mais, pourquoi n'y a-t-il pas de solutions pour n>i(i-1) et nj > i(i − 1) ?

Généralisons !

Notre but est de prouver que si Xi,

(i\geq{2}), ni, U, n, PGCD(X1,X2,...,Xi) = 1

sont des entiers positifs, alors

X_a=X_b=0;\forall{a,b=1,2,...,i}

n_k>{i(i-1)},\forall{k=1,2,...,i},n>i(i-1)

pour l'équation

X_1^{n_1}+X_2^{n_2}+...+X_i^{n_i}=U^n\quad\quad{(e)}

quand n\leq{i(i-1)},n_k\leq{i(i-1)},k=1,2,...,i

il y a des solutions, par exemple :

i = 2 a 32 + 42 = 52

et i = 3 a 33 + 43 + 53 = 63

et

958004 + 2175194 + 4145604 = 4224814

et i = 4 a 275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445

etc...

Nous supposons (e) verifiée et que PGCD(Xk) = 1

k\in\{1,2,...,i\};i\geq{2}, soit

x_k=U^{(i-1)n}X_k^{n_k}

k\in{\{1,2,...,i\}}

et

u = Uin

et

v=X_1^{n_1}X_2^{n_2}...X_i^{n_i}

[modifier] LEMME 7

xk, k = 1,2,...i, u, v verifient

x_1+x_2+...+x_i=U^{(i-1)n}(X_1^{n_1}+X_2^{n_2}+...+X_i^{n_i})=U^{in}=u\quad\quad{(3)}

et

\frac{1}{v}=\frac{1}{X_1^{n_1}X_2^{n_2}...X_i^{n_i}}=\frac{U^{{i(i-1)}n}}{U^{(i-1)n}X_1^{n_1}U^{(i-1)n}X_2^{n_2}...U^{(i-1)n}X_i^{n_i}}=\frac{u^{(i-1)}}{x_1x_2...x_i}\quad\quad{(4)}

posons

xk,0 = xk

u0 = u

v0 = v

et

x_{k,1}=x_k^{i}(x_1+x_2+...+x_i)^{-(i-1)}

k = 1,2,...,i

qui implique

u=x_1+x_2+...+x_i=(x_{1,1}^{\frac{1}{i}}+x_{2,1}^{\frac{1}{i}}+...+x_{i,1}^{\frac{1}{i}})^i>u_1>1

et

x_{k,0}=x_k=x_{k,1}^{\frac{1}{i}}(x_1+x_2+...+x_i)^{\frac{(i-1)}{i}}

=x_{k,1}^{\frac{1}{i}}(x_{1,1}^{\frac{1}{i}}+x_{2,1}^{\frac{1}{i}}+...+x_{i,1}^{\frac{1}{i}})^{(i-1)}>x_{k,1}>0

et

v=\frac{x_{1,0}x_{2,0}...x_{i,0}}{u^{(i-1)}}=x_{1,1}^{\frac{1}{i}}x_{2,1}^{\frac{1}{i}}...x_{i,1}^{\frac{1}{i}}>v_1=\frac{x_{1,1}x_{2,1}...x_{i,1}}{u_1^{(i-1)}}>0

Le raisonnement est valable jusqu'à l'infini. Donc

u_j=x_{1,j}+x_{2,j}+...+x_{i,j}=(x_{1,{j+1}}^{\frac{1}{i}}+x_{2,{j+1}}^{\frac{1}{i}}+...+x_{i,{j+1}}^{\frac{1}{i}})^i>u_{j+1}>0

et

x_{k,j}=x_{k,{j+1}}^{\frac{1}{i}}(x_{1,{j+1}}^{\frac{1}{i}}+x_{2,{j+1}}^{\frac{1}{i}}+...+x_{i,{j+1}}^{\frac{1}{i}})^{(i-1)}>x_{k,{j+1}}>0

et

k = 1,2,...,i

et

v_j=\frac{x_{1,j}x_{2,j}...x_{i,j}}{u_j^{(i-1)}}=x_{1,{j+1}}^{\frac{1}{i}}x_{2,{j+1}}^{\frac{1}{i}}...x_{i,{j+1}}^{\frac{1}{i}}>v_{j+1}=\frac{x_{1,{j+1}}x_{2,{j+1}}...x_{i,{j+1}}}{u_{j+1}^{(i-1)}}>0

xk,j,vj,uj sont positifs \forall{j>1}, \forall{k=1,2,...,i}.

[modifier] LEMME 8

(P) est l'expression :

x_{k,j}=x_k^{{i^j}}(\prod_{l=0}^{l={j-1}}{x_1^{{i^l}}+x_2^{{i^l}}+...+x_i^{{i^l}}})^{-(i-1)}


[modifier] Preuve du lemme 8

pour j=1, c'est verifié de par la définition de xk,1,u1,v1,

nous supposons (P) vraie et l'expression de uj implique, avec (P), que

x_{k,j}=x_{k,{j+1}}^{\frac{1}{i}}(x_{1,{j+1}}^{\frac{1}{i}}+x_{2,{j+1}}^{\frac{1}{3}}+...+x_{i,{j+1}}^{\frac{1}{i}})^{(i-1)}

ou

x_{k,{j+1}}^{\frac{1}{i}}=x_{k,j}(x_{1,{j+1}}^{\frac{1}{i}}+x_{2,{j+1}}^{\frac{1}{i}}+...+x_{i,{j+1}}^{\frac{1}{i}})^{-(i-1)}

et

x_{k,{j+1}}=x_{k,j}^{i}(x_{1,{j+1}}^{\frac{}{i}}+x_{2,{j+1}}^{\frac{1}{i}}+...+x_{i,{j+1}}^{\frac{1}{i}})^{{-(i-1)i}}=x_{k,j}^{i}(x_{1,j}+x_{2,j}+...+x_{i,j})^{-(i-1)}

=x_k^{{i^{j+1}}}\prod_{l=0}^{l={j-1}}{(x_1^{{i^l}}+x_2^{{i^l}}+...+x_i^{{i^l}})^{-{i(i-1)}}(x_1^{{i^j}}+x_2^{{i^j}}+...+x_i^{{i^j}})^{-(i-1)}}\prod_{l=0}^{l={j-1}}{(x_1^{{i^l}}+x_2^{{i^l}}+...+x_i^{{i^l}})^{(i-1)^2}}

=x_k^{{i^{j+1}}}\prod_{l=0}^{l=j}{(x_1^{{i^l}}+x_2^{{i^l}}+...+x_i^{{i^l}})^{-(i-1)}}

donc

x_{k,j}=x_k^{{i^j}}\prod_{l=0}^{l={j-1}}{(x_1^{{i^l}}+x_2^{{i^l}}+...+x_i^{{i^l}})^{-(i-1)}}

Pourquoi n'y a-t-il pas de solutions pour n > i(i − 1),nk > i(i − 1) ?

Nous supposons

n = nk = i(i − 1)

les formules deviennent

x_{k,j}=x_k^{{i^j}}(\prod_{l=0}^{l={j-1}}{x_1^{{i^l}}+x_2^{{i^l}}+...+x_i^{{i^l}}})^{-(i-1)}

=U^{n{i^j}}X_k^{n_k{i^j}}(\prod_{l=0}^{l={j-1}}{(U^{n{i^l}}X_1^{n_1{i^l}}+U^{n{i^l}}X_2^{n_2{i^l}}+...+U^{n{i^l}}X_i^{n_i{i^l}})})^{-(i-1)}

=U^{i(i-1){i^j}}X_k^{i(i-1){i^j}}(\prod_{l=0}^{l={j-1}}{(U^{i(i-1){i^l}}X_1^{i(i-1){i^l}}+...+U^{i(i-1){i^l}}X_i^{i(i-1){i^l}})})^{-(i-1)}

=U^{(i-1)i^{j+1}}X_k^{(i-1)i^{j+1}}(\prod_{l=0}^{l={j-1}}{(U^{(i-1){i^{l+1}}}x_1^{(i-1){i^{l+1}}}+...+U^{(i-1){i^{l+1}}}X_i^{(i-1){i^{l+1}}})})^{-(i-1)}

C'est l'expression de xk,j + 1 de l'exposant i-1.

S'il existe des solutions pour l'exposant i-1,

il y en aura pour un exposant plus petit que i(i-1).

Soit

kUn = Xn + Yn

pour des k entiers comme 7, il y a des solutions, pour d'autres comme 2, il n'y a pas de solution. Il ne faut pas poser

u = (kUn)2

x = kUnXn

y = kUnYn

z = XnYn

le lemme 1 est satisfait

u = kUn(Xn + Yn) = x + y

\frac{1}{z}=\frac{k^2U^{2n}}{kU^nX^nkU^nY^n}=\frac{u}{xy}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}

La correcte solution est de poser

u = U2n

x = UnXn

y = UnYn

z = XnYn

Ainsi

u=U^{2n}=\frac{kU^n(X^n+y^n)}{k^2}=\frac{x+y}{k}

et

\frac{1}{z}=\frac{U^{2n}}{U^nX^nU^nY^n}=\frac{u}{xy}=\frac{x+y}{kxy}=\frac{1}{kx}+\frac{1}{ky}

[modifier] Conclusion

La conclusion est que ces suites, séries et nombres sont surprenants, mais ils ont de nombreuses applications dans toutes les équations diophantiennes, nous avons vu certaines d'entre elles, il y en a d'autres comme les équations de Pilai, Smarandache, Catalan, etc...
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