Rayonnement du corps noir/Angles solides
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| Chapitre 3 | |||
| Leçon : Rayonnement du corps noir | |||
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| Chap. préc. : | Lois expérimentales | ||
| Chap. suiv. : | Lois thermodynamiques | ||
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Rayonnement du corps noir/Angles solides », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Les angles solides constituent une généralisation des angles plan aux situations dans l'espace. Cette notion est particulièrement utile dans l'étude du rayonnement, ce chapitre est consacré à la définition et aux exemples en rapport. Il peut être considéré optionnel si la notion est déjà connue.
Sommaire |
[modifier] Définition
[modifier] L'angle plan
Pour définir un angle solide, nous allons devoir définir ce qu'est un angle usuel dans le plan. Soit un cercle de rayon R et un arc de ce cercle délimité par un angle θ (mesuré en radians). Alors la longueur de l'arc est :
On retrouve d'ailleurs le résultat célèbre donnant le périmètre d'un cercle pour un angle de 2π. La formule ci-dessus peut encore être écrite :
Ainsi, étant donné une mesure :
- de la longueur de l'arc ;
- du rayon du cercle ;
on peut en déduire une mesure de l'angle.
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Angle plan |
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On définit l'angle plan θ formé entre deux points d'un cercle de rayon R par : où L est la longueur de l'arc entre les deux points. |
[modifier] Angle solide
Nous allons définir l'angle en trois dimensions — appelé angle « solide » — de manière analogue. On voudrait disposer d'une formule de la forme
sauf que, dans notre cas précis :
- L serait une surface, et plus une longueur ;
- θ serait un angle solide, et plus un angle plan ;
- il faudrait prendre le carré de R, pour des raisons d'homogénéité.
Pour plus de clarté, on note S la surface et Ω l'angle solide. On cherche ainsi :
Ainsi, par analogie avec la définition de l'angle plan :
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Angle solide |
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On définit l'angle solide Ω sur une sphère de rayon R par : où S est la surface formée sur la sphère. Un angle solide se mesure en unités SI en stéradians (sr). |
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Angle solide infinitésimal |
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De même, pour un angle infinitésimal, on a : C'est-à-dire, puisque d²S = R² sin θ dθ dφ : avec dθ et dφ les angles balayés par la surface (voir schéma). Cette expression est parfois intéressante. |
Remarques :
- Le plus grand angle solide mesurable, qui correspond à un objet couvrant toute la sphère, est de 4π stéradians.
- Chaque face d'un cube est vue depuis le centre du cube avec un angle solide 2π/3 stéradians.
- Dans le cas général, un polyèdre régulier pouvant être inscrit dans une sphère, chacune de ses faces est vue avec un angle solide 4π/n.
[modifier] Cas particuliers
[modifier] Surface plane
Soit une surface élémentaire plane dS, soit n un vecteur normal à dS. On note R la distance d'un point O à cette surface.
Alors l'angle sous lequel est vu dS depuis O est :
avec er le vecteur unitaire des coordonnées sphériques.
[modifier] Objet sphérique
Un objet sphérique de rayon R est vu sous le même angle solide qu'un cercle de rayon R à la même distance.
[modifier] Exemple
On dispose des informations suivantes :
- Rayon de la Lune : 1 740 km ;
- Distance Terre-Lune : 384 500 km ;
- Rayon du Soleil : 7.10⁵ km ;
- Distance Terre-Soleil : 150.10⁶ km.
Comparer l'angle solide sous lequel le Soleil et la Lune sont vues et commenter.
La surface occupée par la Lune est :
L'angle solide sous lequel la Lune est vue est donc :
La surface occupée par le Soleil est :
L'angle solide sous lequel le Soleil est vu est donc :
On remarque que ces deux valeurs sont proches — en fait, les données fournies étant approximatives, elles sont plus ou moins proches — ce qui explique notamment les éclipses « annulaires » lors desquelles la Lune occulte tout juste le Soleil.
