Racine carrée/Introduction
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Sommaire |
[modifier] Racines carrées
[modifier] A quoi sert le calcul symbolique avec les racines carrées ?
Certains nombres ne peuvent se mettre exactement ni sous forme décimale, ni sous forme de fraction.
On peut alors essayer de les écrire sous forme de racines carrées.
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Définition |
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Si a est un nombre positif. La racine carrée de a est le seul nombre positif dont le carré est a Elle se note : |
[modifier] Premières propriétés
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Propriété |
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Le carré d'une racine carrée d'un nombre positif est égale au nombre lui-même |
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Exemple |
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Propriété |
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La racine carrée du carré d'un nombre positif est égale au nombre lui-même |
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Exemple |
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Si |
alors 
Observer les différents placements du carré dans ces formules !
[modifier] Exemples
[modifier] Racines carrées et multiplication
La racine carrée "se comporte bien" avec les multiplications.
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Propriété |
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Si a et b sont deux nombres positifs :
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[modifier] Exemple
On obtient bien le même résultat !
Aimeriez-vous voir une démonstration de cette propriété ?
Cette propriété pourrait-elle marcher avec une addition ?
[modifier] Application à la simplification d'une racine carrée
Simplifier en utilisant la propriété de la multiplication :
[modifier] Unicité de la simplification avec b entier le plus petit possible
Un même nombre a plusieurs écritures de la forme : 
Pour donner le résultat exact d’un calcul, on l’écrit avec l'entier b le plus petit possible.
Ainsi un résultat comportant une racine carrée a une unique écriture « irréductible », comme les fractions.
[modifier] Exemple
Mais :
donc : 
mais la forme la plus simple est : 
car b = 2 est le plus petit possible.
[modifier] Racines carrées et division
La racine carrée "se comporte bien" avec les divisions.
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Propriété |
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Si a et b sont deux nombres positifs, et si b est différent de 0.
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[modifier] Exemple
On obtient bien le même résultat !
Aimeriez-vous voir une démonstration de cette propriété ?
[modifier] Application à la simplification d'une racine carrée
Simplifier en utilisant la propriété de la division :
[modifier] Des fractions sans racines carrées au dénominateur
Pour avoir une écriture simplifiée unique, on a l'habitude d'écrire les fractions comportant des racines carrées sans racines au dénominateur (en bas). On utilise la propriété de la division.
[modifier] Exemple
Donner une écriture de : 
sans racines carrées au dénominateur.
