Racine carrée/Exercice/Sujet de brevet

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Sujet de brevet
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Exercice 1
Leçon : Racine carrée

Cet exercice est de niveau 9.
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Racine carrée/Exercice/Sujet de brevet  », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

[modifier] Exercice 1

Mettre sous la forme a + b \sqrt{6}, avec a et b des entiers relatifs, le nombre suivant :

C = 3 \sqrt{2}\left(\sqrt{3}+1\right)-\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}-2\right)

Solution

C = 3 \sqrt{2}\left(\sqrt{3}+1\right)-\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}-2\right)

C = 3 \sqrt{2}\sqrt{3} + 3 \sqrt{2}-\left(\sqrt{2}\sqrt{2}-2\sqrt{2}-1\sqrt{2}+2\right)

C = 3 \sqrt{2\times 3} + 3 \sqrt{2}-\left(\sqrt{2\times2}-3\sqrt{2}+2\right)

C = 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{2}-\left(\sqrt{4}-3\sqrt{2}+2\right)

C = 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{2}-\sqrt{4}+3\sqrt{2}-2

C = 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{2}-2+3\sqrt{2}-2

C = 3 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}-4

C = 3 \sqrt{6} + \frac {6 \times 9}9 \sqrt{2}-4

C = 3 \sqrt{6} + \frac 69 \sqrt{2\times 3}-4

C = 3 \sqrt{6} + \frac 69 \sqrt{6}-4

C = \left(3 + \frac 69\right) \sqrt{6}-4

C = \left(\frac{27}9 + \frac 69 \right)\sqrt{6}-4

C = \frac{33}9 \sqrt{6}-4

C = \frac{11}3 \sqrt{6}-4

[modifier] Exercice 2

On pose N = \sqrt{20} - \sqrt{45} - 7 \sqrt{5}

Écrire le nombre N sous la forme p\sqrt{q}

avec p entier relatif et q entier le plus petit possible.

Solution

N = \sqrt{20} - \sqrt{45} - 7 \sqrt{5}

N = \sqrt{4\times5} - \sqrt{9\times 5} - 7 \sqrt{5}

N = 2\sqrt{5} - 3\sqrt{5} - 7 \sqrt{5}

N = -8\sqrt{5}

[modifier] Exercice 3

Écrire les nombres C et D sous la forme a \sqrt{3}, où a est un entier :

C = 3\sqrt{27}-\sqrt{108}

Solution

C = 3\sqrt{27}-\sqrt{108}

= 3\sqrt{9\times 3}-\sqrt{36 \times 3}

= 3\times 3\sqrt{3}- 6 \sqrt{3}

= 9\sqrt{3}- 6 \sqrt{3}

= 3\sqrt{3}

D = \sqrt {100-25}

Solution

D = \sqrt {100-25}

= \sqrt {75}

= \sqrt {25 \times 3}

= 5\sqrt {3}

[modifier] Exercice 4

Déterminer les nombres x tels que : x2 = \frac {325} {1053}

Solution

x2 = \frac {325} {1053}

x = \pm \sqrt{\frac {325} {1053}}

x = \pm \frac {\sqrt{325}} {\sqrt{1053}}

x = \pm \frac {\sqrt{25\times 13}} {\sqrt{81 \times 13}}

x = \pm \frac {5\sqrt{13}} {9\sqrt{13}}

x = \pm \frac 59

[modifier] Exercice 5

Calculer \sqrt{1053}-3\sqrt{325}+2\sqrt{52} sous la forme a\sqrt{13}

Solution

\sqrt{1053}-3\sqrt{325}+2\sqrt{52}

= \sqrt{81\times13}-3\sqrt{25\times13}+2\sqrt{4\times13}

= 9\sqrt{13}-3\times 5\sqrt{13}+2\times2\sqrt{13}

= 9\sqrt{13}-15\sqrt{13}+4\sqrt{13}

= -2\sqrt{13}

[modifier] Exercice 6

Calculer C = 5 \sqrt{20} + \sqrt{45} et D = 5 \sqrt{20} \times \sqrt{45} \times \sqrt {5}sous la forme a \sqrt{b} où a et b sont des entiers et b le plus petit possible

Solution pour C

C = 5 \sqrt{20} + \sqrt{45}

= 5 \sqrt{4 \times 5} + \sqrt{9 \times 5}

= 5 \times 2 \sqrt{5} + 3\sqrt{ 5}

= 13 \sqrt{5}
Solution pour D

D = 5 \sqrt{20} \times \sqrt{45} \times \sqrt {5}

= 5 \sqrt{4 \times 5} \times \sqrt{9 \times 5} \times \sqrt {5}

= 5 \times 2 \times 3 \times \sqrt{5} \times \sqrt{5} \times \sqrt {5}

= 5 \times 2 \times 3 \times 5 \times \sqrt {5}

= 150 \sqrt {5}

[modifier] Exercice 7

2 \sqrt {5} + 2 \sqrt {125} - 7 \sqrt {45} sous la forme a \sqrt{5} où a est un nombre entier relatif

Solution

2 \sqrt {5} + 2 \sqrt {125} - 7 \sqrt {45}

= 2 \sqrt {5} + 2 \sqrt {25 \times 5 } - 7 \sqrt {5 \times 9}

= 2 \sqrt {5} + 2 \times 5\sqrt {5 } - 7 \times 3 \sqrt {5}

= 2 \sqrt {5} + 10 \sqrt {5 } - 21 \sqrt {5}

= -9 \sqrt {5}

[modifier] Exercice 8

Écrire sous la forme a \sqrt{b} avec a un entier et b un entier le plus petit possible :

\sqrt{300}

Solution

\sqrt{300}

= \sqrt{3 \times 100}

= 10 \sqrt3

2\sqrt{12}-\sqrt{27}

Solution

2\sqrt{12}-\sqrt{27}

= 2\sqrt{4 \times 3}-\sqrt{9 \times 3}

= 4\sqrt{3}-3\sqrt{3}

= \sqrt{3}

\sqrt{21}\times\sqrt{14}

Solution

\sqrt{21}\times\sqrt{14}

= \sqrt{21\times14}

= \sqrt{294}

= \sqrt{147\times 2}

= \sqrt{49\times 3 \times 2}

= 7\sqrt{3 \times 2}

= 7\sqrt{6}

[modifier] Exercice 9

On pose : \sqrt{25} - \sqrt{75} + 5 \sqrt{27} - \sqrt{36 \times 3} + 2 \sqrt{9}

Écrire B sous la forme a + b \sqrt{3} avec a et b entiers.

Solution

= \sqrt{5 \times 5} - \sqrt{3 \times 5 \times 5} + 5 \sqrt{3 \times 3 \times 3} - \sqrt{6 \times 6 \times 3} + 2 \sqrt{3 \times 3}

= 5 - 5\sqrt{3} + 5 \times 3 \sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 2 \times 3

= 11 - 5\sqrt{3} + 15 \sqrt{3} - 6\sqrt{3}

= 11 + (-5+15-6)\sqrt{3}

= 11 + 4\sqrt{3}

[modifier] Exercice 10

Développer et réduire :

\left( 2 \sqrt{3} - 1 \right) \left( 6 - \sqrt{3} \right)

12√3-6-6+1√3 -12+12√3+1√3 = -12+13√3

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. Comment faire ?

12√3-6-6+1√3 -12+12√3+1√3 = -12+13√3

[modifier] Exercice 11

Écrire sous la forme a+b\sqrt{c}

où a et b sont des rationnels et c un entier naturel le plus petit possible.

A=(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2+2
B=\frac{\sqrt{50}\sqrt{15}}{\sqrt{27}}
Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. Comment faire ?

[modifier] Exercice 12

Écrire sous la forme a+b\sqrt{c}

où a et b sont des rationnels et c un entier naturel le plus petit possible.

A=(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2+3
B=\frac{\sqrt{75}\sqrt{10}}{\sqrt{8}}
Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. Comment faire ?

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