Racine carrée/Exercice/Nombre d'or
Une page de Wikiversité.
 |
|||
| Exercice 2 | |||
| Leçon : Introduction | |||
|---|---|---|---|
|
Cet exercice est de niveau 10. |
|||
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Nombre d'or
Racine carrée/Exercice/Nombre d'or », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
|
Définition |
|
On appelle Nombre d'or le nombre réel noté : |
[modifier] Quelques calculs avec le nombre φ
1. Donner avec la calculatrice une valeur approchée de 
à 10 − 3 près.
2. Donner avec la calculatrice une valeur approchée de 
à 10 − 3 près.
Conjecturer une relation entre et son carré.
3. On se propose de démontrer la relation : 
.
a. Démontrer en développant l'expression de φ que 
.
b. Calculer φ + 1 en mettant au même dénominateur.
c. Conclure.
4. a. En utilisant la relation du 3), démontrer que :
b. Démontrer que 
c. En déduire une relation entre 
et .
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. Comment faire ?
[modifier] Rectangles d'or
|
Définition |
|
On appelle rectangle d'or un rectangle dont le quotient de la longueur par la largeur vaut φ. |
Soit un rectangle d'or ABCD avec la longueur AB = l.
1. Exprimer AD en fonction de l et φ.
2. On enlève à l'intérieur du rectangle ABCD le carré ABEF.
a. Démontrer que 
.
b. En utilisant la relation établie dans la première partie, démontrer que :
c. Que peut-on en déduire pour le rectangle FDCE ?
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. Comment faire ?
[modifier] Construction d'un rectangle d'or
Cette construction serait due à Euclide (environ 300 av.JC).
1. Construire un carré ABCD avec AB = 4.
Soit I le milieu de [AB]. Le cercle de centre I coupe la demi-droite [AB) en P.
2. Démontrer que APQD et BPQC sont des rectangles d'or.
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. Comment faire ?
