Résolution d'équations différentielles simples/Point de départ

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Définition

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction, notée f. Cette équation fait intervenir f et ses dérivées. Résoudre une équation différentielle correspond donc à trouver toutes les fonctions f qui la vérifient.

Exemples d'équations différentielles dont l'inconnue est une fonction f dépendant d’une seule variable x :

• $f'(x)+2xf(x)^{2}=0$
• $x^{2}\,f''(x)+xf'(x)+(x^{2}-1)f(x)=0$
• $f''(x)-2xf'(x)+f(x)=0$

On ne s'intéressera, dans ce cours, qu’à des équations différentielles linéaires à coefficients constants d'ordre 1 ou 2, c'est-à-dire à des équations du type : $a\,f''(x)+b\,f'(x)+cf(x)=g(x)$ où a, b et c sont des constantes, a ou b non nul, et g est une fonction connue appelée le second membre.

Élimination du second membre

On peut montrer, en mathématiques, que si l’on connait une solution, on peut trouver toutes les autres en suivant ces étapes :

• La solution que l’on connaît déjà est notée $f_{p}$ et s’appelle la solution particulière.
• On écrit une nouvelle équation différentielle :

$a\,f''(x)+b\,f'(x)+cf(x)=0$

qui s’appelle l'équation sans second membre (ou équation homogène associée) car on a retiré la fonction g.

• On résout cette équation, dont on note $f_{0}$ toute solution.
• On sait alors que toute solution de l'équation avec second membre s'écrit :

$f(x)=f_{0}(x)+f_{p}(x)$ Autrement dit, on peut énoncer le théorème suivant :

Toute solution d’une équation différentielle linéaire est la somme d’une solution particulière et d’une solution de l'équation sans second membre.

Par conséquent, il nous suffit d'étudier des équations sans second membre, car il suffit d'ajouter une solution particulière à leurs solutions pour pouvoir les résoudre complètement.