Réduction des endomorphismes/Polynômes d'endomorphismes

Leçons de niveau 15
Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre.
Début de la boite de navigation du chapitre
Polynômes d'endomorphismes
Icône de la faculté
Chapitre no 2
Leçon : Réduction des endomorphismes
Chap. préc. :Sous-espaces stables
Chap. suiv. :Valeurs et vecteurs propres - Polynôme caractéristique
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Réduction des endomorphismes : Polynômes d'endomorphismes
Réduction des endomorphismes/Polynômes d'endomorphismes
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

est un corps commutatif et est un -espace vectoriel (de dimension non nécessairement finie). Toutes les notions développées ici peuvent être particularisées aux matrices.

Définition et premières propriétés[modifier | modifier le wikicode]


La propriété de morphisme d'algèbres signifie que :

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Idéal annulateur[modifier | modifier le wikicode]

C'est bien un idéal, puisque c'est le noyau de .

On montre dans le cours sur les polynômes que est un anneau principal, ce qui permet de dire que :

Début d’un théorème
Fin du théorème


(La barre verticale signifie « divise ».) Nous verrons au chapitre suivant que si est de dimension finie alors n'est pas nul, ainsi qu'un contre-exemple en dimension infinie.

Lemme des noyaux[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème


On en déduit par récurrence le :

Début d'un lemme
Fin du lemme


Stabilité[modifier | modifier le wikicode]

Cela est dû au fait que et commutent.