Puissances/Introduction/approfondissements

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Approfondissement de Puissances/Introduction.

[modifier] Démonstrations

Les démonstrations des règles 1 à 5 sur les puissances peuvent se faire avec un raisonnement par récurrence.

[modifier] Règle 1

a^m\times{a}^{n}=a^{m+n} \,

Prérequis : pour k entier relatif, a^{k+1}=a^k \times a

  • Si k > 0, a^{k+1} = a^k \times a d'après la définition d'une puissance entière d'exposant positif.
  • Si k = 0, a^{k+1} = a^1 = a\, et a^k \times a = a^0 \times a = 1 \times a = a d'après la définition d'une puissance d'exposant nul.
  • Si k = -1, a^{k+1} = a^0 = 1\, et a^k \times a = a^{-1} \times a = \frac 1 a \times a = 1
  • Si k < -1, a^{k+1} = a^k \times a d'après la définition d'une puissance entière d'exposant négatif.

Démonstration pour a non nul et m un entier relatif

Soit la proposition P_n : a^m\times{a}^{n}=a^{m+n} \,

  • Pour n = 0, on a d'un côté

a^m\times{a}^{n}=a^m\times{1}=a^m et de l'autre

a^{m+n}=a^{m+0}=a^m\,

La propriété Pn est donc vérifiée pour n = 0, ou pour faire plus court, P₀ est vraie.

  • Supposons que Pn soit vraie pour n supérieur ou égal à zéro. Voyons si Pn+1 est vraie.

En partant d'un côté :

a^m\times{a}^{n+1} = a^m\times({a}^{n}\times{a}) d'après la définition d'un puissance entière, puis

a^m\times({a}^{n}\times{a}) = (a^m\times{a}^{n})\times{a} par associativité de la multiplication,

(a^m\times{a}^{n})\times{a} = a^{m+n}\times{a} car on suppose que Pn est vraie

a^{m+n}\times{a} = a^{m+n+1} d'après la définition d'un puissance entière.

On obtient donc que a^m\times{a}^{n+1} = a^{m+n+1}

C'est-à-dire que Pn+1 est vraie lorsque Pn est vraie.

On a donc, pour n supérieur ou égal à zéro, l'implication P_n\Rightarrow P_{n+1}.

  • Par récurrence sur n, on peut conclure que pour tout entier n positif, Pn est vraie.

On peut faire un raisonnement semblable pour les puissances négatives. Montrant que P_n\Rightarrow P_{n-1}, on conclut que la propriété est vraie aussi pour n négatif.

Démonstration pour a = 0

Si les exposants sont strictements positifs, c'est-à-dire que m > 0 et n > 0, alors on a :

a^m\times{a}^{n} = 0\times 0 \, et

a^{m+n} = 0\,

Dans ce cas-là (exposants strictements positifs), la règle est aussi vraie. Sinon, les résultats sont indéterminés.

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