Puissances/Annexe/Approfondissements

Vous trouverez sur cette page quelques approfondissements sur la leçon puissances.

Ils ne sont pas strictement au programme de quatrième et sont réservés à ceux qui veulent aller plus loin, soit par curiosité, soit dans le but de se préparer à des études plus difficiles.

Certaines parties de cette page sont seulement suggérées, pour laisser au lecteur le plaisir de trouver les réponses par lui-même.

Démonstrations

Règle 1

Nous voulons montrer que :

$a^{m}\times {a}^{n}=a^{m+n}$

Supposons que m et n sont positifs, alors :

${\begin{matrix}\\a^{n}=\end{matrix}}{\begin{matrix}nfois\\\overbrace {a\times \cdots \times a} \end{matrix}}$

et

${\begin{matrix}\\a^{m}=\end{matrix}}{\begin{matrix}mfois\\\overbrace {a\times \cdots \times a} \end{matrix}}$

donc

${\begin{matrix}\\a^{n}\times a^{m}=\end{matrix}}{\begin{matrix}nfois\\\overbrace {a\times \cdots \times a} \end{matrix}}{\begin{matrix}\\\times \end{matrix}}{\begin{matrix}mfois\\\overbrace {a\times \cdots \times a} \end{matrix}}{\begin{matrix}\\=\end{matrix}}{\begin{matrix}n+mfois\\\overbrace {a\times \cdots \times a} \end{matrix}}{\begin{matrix}\\=\end{matrix}}{\begin{matrix}\\a^{n+m}\end{matrix}}$

Règle 2

Il suffit d'écrire la définition et de réordonner les facteurs

Puissances et divisions

Règle 3

En supposant que m est supérieur à n, il faut simplifier m-n fois par a. Sinon, il faut simplifier n-m fois par a.

Règle 4

Il faut se rappeler de la règle de multiplication des fractions.

« Fausses règles »

La plus célèbre est :

${\mathfrak {a^{m}\times b^{n}=(a\times b)^{m+n}}}$

Pour se rendre compte qu'elle est fausse, prendre un exemple avec $a\neq b$

Pourquoi $a^{0}=1$ ?

Calculons

$a^{n}\times a^{-n}=a^{n+(-n)}=a^{0}$

Mais

$a^{n}\times a^{-n}=a^{n}\times {\frac {1}{a^{n}}}={\frac {a^{n}}{a^{n}}}=1$

donc

$a^{n}\times a^{-n}=1$

Remarque : Cette démonstration n'est valable que si a est non nul. L'égalité 0⁰ = 1 est reliée à la limite en (0;0) de la fonction

$(x;y)\longmapsto x^{y}$