Produit vectoriel/Expert

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Expert
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Chapitre 2
Leçon : Produit vectoriel
Chap. préc. : Avancé


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[modifier] Produit mixte

Définition

On munit \vec E d'une base orthonormée directe \mathcal B=(\vec i,\vec j,\vec k).

Soient \vec u,\vec v,\vec w trois vecteurs de \vec E dont les coordonnées dans \mathcal B sont \vec u=~ \begin{array}{|l} u_x\\u_y\\u_z \end{array}, \vec v=~ \begin{array}{|l} v_x\\v_y\\v_z \end{array} et \vec w=~ \begin{array}{|l} w_x\\w_y\\w_z \end{array}.

Le nombre \det_{\mathcal B}(\vec u,\vec v,\vec w)= \begin{array}{|ccc|} u_x&v_x&w_x\\ u_y&v_y&w_y\\ u_z&v_z&w_z \end{array} est indépendant de la base orthonormale \mathcal B choisie.

On l'appelle produit mixte de (\vec u,\vec v,\vec w) et il est noté [\vec u,\vec v, \vec w]

[modifier] Produit vectoriel

Définition

Soit E un espace euclidien de dimension 3. Soit (u,v) \in \mathbb E^2.

\begin{array}{ccccc} l & : & E & \rightarrow & \mathbb R \\ & : & x & \mapsto & [u,v,x] \end{array}

l\in E^* donc il existe un unique w \in E tel que \forall x \in E,~[u,v,x]=(w|x). w est appelé produit vectoriel de u et v et est noté u \wedge v.


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