Produit vectoriel/Avancé

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**Avancé**
Leçon : Produit vectoriel

Chapitre 1
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Chap. suiv. :	Produit vectoriel - Expert

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Produit vectoriel/Avancé », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

1 Orientation de l'espace
- 1.1 Orientation des bases
- 1.2 Exemples
2 Produit vectoriel
3 Calcul pratique avec les coordonnées
- 3.1 Méthode
- 3.2 Exemples

[modifier] Orientation de l'espace

[modifier] Orientation des bases

Définition

Considérons une main droite. Si $\vec i$ est l'index et $\vec j$ le majeur, une base directe de l'espace est une base pour laquelle le troisième vecteur $\vec k$ est dans la direction du pouce.

[modifier] Exemples

Point ajouté pour une réponse juste:
Point retiré pour une réponse erronée:
Ignorer les coefficients des questions:

Votre pointage est 0 / 0

[modifier] Produit vectoriel

[modifier] Définition

Définition

Soient $\vec u$ et $\vec {v}$ deux vecteurs dans l'espace. Le produit vectoriel de $\vec u$ et $\vec v$ , noté $\vec u \wedge \vec v$ est :

$\vec 0$ si $\vec u$ et $\vec {v}$ sont colinéaires

le vecteur $||\vec u||.||\vec v||.\sin(\widehat{\vec u,\vec v}) \vec k$ , où $\vec k$ est un vecteur

- unitaire $(||\vec k||=1)$

- orthogonal à $\vec u$ et $\vec {v}$

- tel que $(\vec u,\vec v,\vec k)$ est une base directe

[modifier] Exemples

Point ajouté pour une réponse juste:
Point retiré pour une réponse erronée:
Ignorer les coefficients des questions:

Votre pointage est 0 / 0

[modifier] Animation

Plus l'angle entre les deux vecteurs de départ est proche d'un angle droit, plus la norme du produit vectoriel est grande. Plus cet angle est petit, ou proche de 180°, plus le produit vectoriel est proche de zéro.

[modifier] Propriétés

CNS de nullité du produit vectoriel

Pour tous vecteurs $\vec u,\vec v$ non nuls de l'espace, $\vec u \wedge \vec v=\vec0$ ssi $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires.

Antisymétrie

Pour tous vecteurs $\vec u, \vec v$ de l'espace, $\vec v \wedge \vec u =-\vec u \wedge \vec v$ .

Bilinéarité

Soient $\vec u,\vec v,\vec w$ trois vecteurs de l'espace et $\lambda \in \R$ .

$(\lambda \vec u) \wedge \vec v = \lambda.(\vec u \wedge \vec v)$
$\vec u \wedge (\lambda \vec v) = \lambda.(\vec u \wedge \vec v)$
$(\vec u+\vec v) \wedge \vec w = \vec u \wedge \vec w + \vec v \wedge \vec w$
$\vec u \wedge (\vec v+\vec w) = \vec u \wedge \vec v + \vec u \wedge \vec w$

[modifier] Calcul pratique avec les coordonnées

[modifier] Méthode

Théorème

Soient $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs, dont les coordonnées dans une base othonormale directe de l'espace sont $\vec u=~ \begin{array}{|l} u_x\\u_y\\u_z \end{array}$ et $\vec v=~ \begin{array}{|l} v_x\\v_y\\v_z \end{array}$

Alors les coordonnées de $\vec w=\vec u \wedge \vec v$ sont $\vec w=~ \begin{array}{|l} u_yv_z-u_zv_y\\u_zv_x-u_xv_z\\u_xv_y-u_yv_x \end{array}$

Démonstration

Cette expression peut se démontrer en développant $(u_x \vec i+u_y\vec j+u_z \vec k)\wedge(v_x\vec i+v_y\vec j+v_z\vec k)$ en utilisant la bilinéarité du produit vectoriel.

Calcul pratique des coordonnées

Il est difficile de retenir l'ordre des indices. Par contre, il est très simple de retenir la manipulation qui permet de le retrouver. Il s'agit d'une sorte de calcul en $\gamma~$ .

On écrit côte à côte les deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ dont on veut faire le produit vectoriel.
On réécrit u_x en-dessous de u_z et v_x en-dessous de v_z
Pour obtenir la coordonnée suivant x de :
- on « cache » u_x et v_x
- on suit le parcours bleu en faisant (premier terme $\times$ deuxième terme) $-~$ (troisième terme $\times$ quatrième terme). On peut rapprocher le sens de parcours de la boucle bleue à la manière dont on écrit la lettre $\gamma~$ , d'où le nom de « calcul en $γ$ »

Pour obtenir les autres coordonnées, on procède de la même manière.
Pour avoir y, on « cache » les coordonnées suivant y et on effectue le calcul en $\gamma~$

Pour avoir z, on « cache » les coordonnées suivant z et on effectue le calcul en $\gamma~$

Et voilà !

[modifier] Exemples

Les fractions doivent être entrées totalement simplifiées à l'aide du slash /. Le signe moins précède les nombres sans espace.

Les coordonnées sont données dans une base orthonormée directe. Calculer les produits vectoriels suivants :

Produit vectoriel

Sommaire

Expert (13)

Base directe	Base indirecte
		$(\vec i,\vec j,\vec k)$
		$(\vec i,\vec k,\vec j)$
		$(\vec j,\vec k,\vec i)$
		$(\vec j,\vec i,\vec k)$
		$(\vec k,\vec j,\vec i)$
		$(\vec k,\vec i,\vec j)$

$\vec i$	$-\vec i$	$\vec j$	$-\vec j$	$\vec k$	$-\vec k$
						$\vec i \wedge \vec j$
						$\vec i \wedge \vec k$
						$\vec j \wedge \vec i$
						$\vec j \wedge \vec k$
						$\vec k \wedge \vec i$
						$\vec k \wedge \vec j$

Produit vectoriel/Avancé

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Sommaire

[modifier] Orientation de l'espace

[modifier] Orientation des bases

[modifier] Exemples

[modifier] Produit vectoriel

[modifier] Définition

[modifier] Exemples

[modifier] Animation

[modifier] Propriétés

[modifier] Calcul pratique avec les coordonnées

[modifier] Méthode

[modifier] Exemples

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